고등 수학 방정식과 부등식에의 활용 (실근의 개수) 예상문제

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$이므로 극점은 $x=1,3$이다.
❷ $f(1)=1-6+9=4$ (극댓값), $f(3)=27-54+27=0$ (극솟값).
❸ 직선 $y=3$과 곡선 $y=f(x)$의 교점의 개수를 구하는 문제와 같다. 극솟값 $0<3<$ 극댓값 $4$이므로 $y=3$은 극댓값과 극솟값 "사이"를 지나가는 직선이며, 이 경우 곡선과 서로 다른 세 점에서 만난다.

[오답 확인]
① 1, ② 2: $3$이 극댓값 $4$보다 작다는 사실만 보고 실근이 하나뿐이라고 잘못 판단하거나, $3$을 극솟값 $0$과 같다고 착각하여 중근이 생긴다고 오해한 경우이다. 실제로는 극솟값과 극댓값 "사이"의 값이므로 세 실근이 나온다.
④ 4, ⑤ 5: 삼차방정식의 실근은 최대 3개이므로 나올 수 없다.

[핵심 개념]
삼차함수의 극댓값·극솟값과 상수 $k$의 대소 비교를 통한 $f(x)=k$의 실근의 개수 판정.

[검증]
직접 계산으로 $x^3-6x^2+9x-3=0$의 근을 수치적으로 구하면 $x\approx 0.468,1.653,3.879$로 서로 다른 세 실근임이 확인된다.

🔴 정답: 1번
📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$이므로 극점은 $x=0,2$이다.
❷ $f(0)=0$ (극댓값), $f(2)=8-12=-4$ (극솟값).
❸ 직선 $y=5$는 극댓값 $0$보다 크므로, 곡선이 극댓값을 찍고 내려갔다가 다시 올라가는 구간 중 극솟값 이후 상승하는 한 구간에서만 $y=5$와 만난다. 즉 $k=5>$ 극댓값이므로 방정식 $f(x)=5$는 실근을 오직 1개만 가진다.

[오답 확인]
② 2, ③ 3: $k$값이 극값 사이에 있다고 착각하거나, $0$과 $-4$ 사이에 $5$가 있다고 잘못 비교한 경우이다. 실제로 $5$는 극댓값 $0$보다 크므로 "극댓값과 극솟값 사이"가 아니라 "극댓값보다 큰" 영역에 해당한다.
④ 4, ⑤ 5: 삼차방정식의 실근은 최대 3개이므로 나올 수 없다.

[핵심 개념]
$k>$ 극댓값 또는 $k<$ 극솟값이면 $f(x)=k$는 오직 하나의 실근을 가진다.

[검증]
직접 계산으로 $x^3-3x^2-5=0$의 근을 구하면 실근은 $x\approx 3.426$ 하나뿐이고 나머지 두 근은 켤레복소수임이 확인된다.

🔴 정답: 2번
📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$이므로 $f^{\prime }(x)=0$의 해는 $x=-1,x=1$이다.
❷ $f(-1)=-1+3+2=4$ (극댓값), $f(1)=1-3+2=0$ (극솟값).
❸ 극솟값이 $0$이므로 $y=f(x)$의 그래프는 $x=1$에서 x축에 접하고, 극댓값은 $4>0$이므로 그래프는 $x=1$ 왼쪽에서 x축과 한 번 더 만난다. 실제로 인수분해하면 $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$이므로 방정식 $f(x)=0$의 해는 $x=1$ (중근), $x=-2$이다.
따라서 서로 다른 실근은 $x=-2,1$의 2개이다.

[오답 확인]
① 1: $x=1$에서 접하는 상황만 보고 $x=-2$의 해를 놓친 경우이다.
③ 3: "극댓값>0, 극솟값<0이면 서로 다른 세 실근"이라는 규칙을 극솟값이 정확히 $0$인 경우(접하는 경우)에도 그대로 적용한 오류이다. 극솟값이 $0$이면 그 지점은 중근이 되어 서로 다른 실근의 개수가 하나 줄어든다.
④, ⑤ 4, 5: 삼차방정식은 최대 3개의 실근을 가지므로 나올 수 없는 값이다.

[핵심 개념]
삼차함수의 극값과 실근의 개수: $f(x)=k$의 실근의 개수는 극댓값 $M$, 극솟값 $m$에 대해 $m<k<M$이면 세 실근, $k=M$ 또는 $k=m$이면 두 실근(중근 포함), $k>M$ 또는 $k<m$이면 한 실근으로 결정된다.

[검증]
직접 계산으로 $x^3-3x+2$를 인수분해하면 $(x-1{)}^2(x+2)$로 확인되며, 직접 계산으로 방정식을 수치적으로 풀어도 서로 다른 실근은 $x=-2,1$ 두 개뿐임이 확인된다.

🔴 정답: 3
📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$이므로 극점은 $x=-1,3$이다.
❷ $f(-1)=-1-3+9+5=10$ (극댓값), $f(3)=27-27-27+5=-22$ (극솟값).
❸ $f(x)=0$의 실근의 개수는 극댓값·극솟값과 $0$의 대소로 판정한다. 극솟값 $-22<0<$ 극댓값 $10$이므로 $y=0$(x축)은 극댓값과 극솟값 사이를 지나가고, 곡선은 x축과 서로 다른 세 점에서 만난다.

[오답 확인]
극값을 구하지 않고 상수항 $f(0)=5>0$만 보고 "그래프가 위에서 시작하니 실근이 하나뿐"이라고 판단하면 오답이다. 반드시 극댓값·극솟값을 모두 구해 $0$과 비교해야 한다.

[핵심 개념]
삼차함수의 극값(임계점에서의 함숫값)과 x축(또는 $y=k$)의 교점 개수 판정.

[검증]
직접 계산으로 다항식 $x^3-3x^2-9x+5$의 근을 구하면 $x\approx -2.180,0.489,4.691$로 서로 다른 세 실근이 나와 극값을 이용한 판정과 일치한다.

[오답 해설]
- 선택지 1 (1): 극값을 구하지 않고 상수항 $f(0)=5>0$만 보고 실근이 하나뿐이라고 잘못 판단.
- 선택지 3 (2): 극댓값과 극솟값을 반대로 배정해 그래프 개형을 잘못 그려 접하는 경우(중근)로 착각하여 실근을 2개로 잘못 판단.
- 선택지 4 (4): 삼차함수의 실근 개수를 사차함수와 혼동하여 그래프와 x축의 교점을 4개로 잘못 셈.
- 선택지 5 (0): 극값 계산에서 부호를 잘못 적용해 극댓값·극솟값이 모두 같은 부호라고 오판하여 실근이 없다고 잘못 판단.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 부등식을 $k\ge -(x^3-3x)=-x^3+3x$ 꼴로 바꾸면, $x\ge 0$인 모든 $x$에서 성립하려면 $k$가 $g(x)=-x^3+3x$ ($x\ge 0$)의 최댓값 이상이어야 한다.
❷ $g^{\prime }(x)=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$이므로 $x\ge 0$ 범위에서 임계점은 $x=1$이다. $g(0)=0$, $g(1)=-1+3=2$이고 $x\to \infty$일 때 $g(x)\to -\infty$이므로 $x\ge 0$에서 $g$의 최댓값은 $g(1)=2$이다.
❸ 따라서 $k\ge 2$이어야 모든 $x\ge 0$에서 $x^3-3x+k\ge 0$이 성립한다.

[오답 확인]
① $k\ge -2$: $x^3-3x$의 (정의역 제한 없는) 극솟값 $-2$를 그대로 부호만 바꿔 사용한 오류로, $x\ge 0$이라는 정의역 제한을 반영하지 않았다.
② $k\ge 0$: $x=0$에서의 함숫값만 검토하고 $x=1$ 부근에서 더 작아지는 부분(최솟값이 되는 지점)을 확인하지 않은 경우이다.
④ $k\ge 4$: 극값 계산에서 부호나 계수를 잘못 처리했을 때 나오는 값이다.
⑤ $k>2$: 등호가 빠진 경우로, $k=2$일 때도 $x=1$에서 $1-3+2=0\ge 0$이 성립하므로 등호를 포함해야 한다.

[핵심 개념]
"모든 $x$에서 $h(x)\ge 0$" 조건은 $h(x)$의 (해당 구간에서의) 최솟값이 $0$ 이상인 것과 같다. 이 문제는 $k$를 분리하여 반대쪽 함수의 최댓값 문제로 바꾸는 것이 핵심이다.

[검증]
$k=2$일 때 $x\ge 0$에서 $x^3-3x+2$의 최솟값을 확인하면 $x=1$에서 $1-3+2=0$으로 경계값이 정확히 0이 되어 부등식이 등호로 성립함을 확인했고, $k=1.9$처럼 2보다 작은 값을 대입하면 $x=1$에서 $1-3+1.9=-0.1<0$이 되어 부등식이 깨짐을 수치적으로 검증했다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 교점의 $x$좌표는 $x^3-3x^2+2x=x$의 해와 같다.
❷ 정리하면 $x^3-3x^2+x=0\Rightarrow x(x^2-3x+1)=0$.
❸ $x=0$ 또는 $x^2-3x+1=0$. 이차방정식의 판별식은 $D=9-4=5>0$이므로 서로 다른 두 실근 $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$를 갖고, 이 값들은 $0$이 아니다(대입하면 $1\ne 0$). 따라서 교점은 $x=0,\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}$의 서로 다른 3개이다.

[오답 확인]
① 1, ② 2: 인수분해 후 $x(x^2-3x+1)=0$에서 이차식 부분을 실근이 없다고 착각하거나 중근으로 착각한 경우이다.
④ 4, ⑤ 5: 삼차방정식이므로 교점은 최대 3개까지만 가능하다.

[핵심 개념]
두 곡선(또는 곡선과 직선)의 교점의 개수는 두 식을 뺀 방정식의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

[검증]
직접 계산으로 $x^3-3x^2+x=0$의 근을 구하면 $x\approx 0,0.382,2.618$로 서로 다른 세 실근이 확인된다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 교점의 $x$좌표는 $x^3-2x^2-x+2=x-1$의 해, 즉 $x^3-2x^2-2x+3=0$의 해이다.
❷ $x=1$을 대입하면 $1-2-2+3=0$이므로 $x=1$은 근이다. 조립제법으로 나누면 $x^3-2x^2-2x+3=(x-1)(x^2-x-3)$.
❸ $x^2-x-3=0$의 판별식은 $D=1+12=13>0$이므로 서로 다른 두 실근을 가지며, $x=1$을 대입하면 $1-1-3=-3\ne 0$이므로 $x=1$과 겹치지 않는다. 따라서 서로 다른 실근은 $x=1,\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$의 3개이다.

[오답 확인]
① 1, ② 2: 인수분해 후 이차식 $x^2-x-3=0$의 판별식을 계산하지 않고 실근이 없다고 넘기거나 $x=1$과 겹친다고 착각한 경우이다.
④ 4, ⑤ 5: 삼차방정식이므로 서로 다른 실근은 최대 3개이다.

[핵심 개념]
곡선과 직선의 교점 개수 = 두 식을 연립해 얻은 방정식의 서로 다른 실근의 개수. 인수분해 후 남은 이차식은 반드시 판별식으로 실근 여부와 중복 여부를 확인해야 한다.

[검증]
직접 계산으로 $x^3-2x^2-2x+3=0$의 근을 구하면 $x\approx -1.303,1.000,2.303$으로 서로 다른 세 실근이 확인된다.

[STEP 0] 전략: 그래프 분석
$y=|x^2-4|$의 그래프와 수평선 $y=k$의 교점의 개수를 분석한다.

[STEP 1] $y=x^2-4$의 그래프 분석
$x^2-4=0$에서 $x=\pm 2$ (영점)
꼭짓점: $(0,-4)$ (최솟값)

[STEP 2] 절댓값 적용
$|x^2-4|$는 $x^2-4<0$인 구간(즉 $-2<x<2$)에서 그래프를 $x$축 위로 뒤집는다.

결과: $y=|x^2-4|$는 W자 형태
$x=\pm 2$에서 $y=0$ (최솟값)
$x=0$에서 $y=|-4|=4$ (극대, 뒤집어진 꼭짓점)
$|x|\to \infty$이면 $y\to \infty$

[STEP 3] 수평선 $y=k$와의 교점 개수 분석
■ $k>4$: 수평선이 W자의 봉우리 위 → 교점 2개
■ $k=4$: 수평선이 봉우리에 접함 → 교점 3개
■ $0<k<4$: 수평선이 W자 사이를 지남 → 교점 4개
■ $k=0$: $x=\pm 2$에서만 만남 → 교점 2개

[STEP 4] 정답 결정
서로 다른 실근이 3개 → $k=4$

[STEP 5] 직접 검증 ($k=4$일 때)
$|x^2-4|=4$

경우 1: $x^2-4=4$ → $x^2=8$ → $x=\pm 2\sqrt{2}$
경우 2: $x^2-4=-4$ → $x^2=0$ → $x=0$

해: $x=-2\sqrt{2},0,2\sqrt{2}$ → 정확히 3개 ✓

[핵심 통찰]
▸ 절댓값 방정식 $|f(x)|=k$ → $y=|f(x)|$ 그래프와 $y=k$의 교점 분석
▸ 실근 개수가 홀수(3개)가 되려면 수평선이 극값에서 접하는 경계 상황
▸ "접한다" = 2개의 교점이 1개로 합쳐지는 순간

[함정 분석]
▸ $y=x^2-4$ (절댓값 없이)와 혼동하면 오답
▸ W자 그래프의 봉우리 높이 $4$를 정확히 계산하는 것이 관건