고등 수학 부분적분법 기초 예상문제

[개념] 서로 다른 두 종류의 함수(다항함수 x와 지수함수 eˣ)의 곱을 적분할 때는 부분적분법을 사용한다. 부분적분법의 공식은 ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx이다.

[1단계: f(x), g'(x) 설정] x는 미분하면 더 간단해지는 다항함수이므로 f(x)=x로, eˣ는 적분해도 형태가 변하지 않으므로 g'(x)=eˣ로 설정하는 것이 유리하다. 그러면 f'(x)=1, g(x)=eˣ이다.

[2단계: 부분적분 공식 적용] ∫xeˣdx = xeˣ - ∫1·eˣdx = xeˣ - eˣ + C이다.

[3단계: 정적분 계산] ∫₀^1 xeˣdx = [xeˣ - eˣ]₀^1이다. x=1일 때: 1·e¹ - e¹ = e - e = 0. x=0일 때: 0·e⁰ - e⁰ = 0 - 1 = -1. 따라서 정적분의 값은 [x=1에서의 값] - [x=0에서의 값] = 0 - (-1) = 1이다.

[검산] 원시함수를 이용해 ∫₀^1 xeˣ dx를 직접 계산한 결과 정확히 1이 나옴을 확인하였다. 또한 원시함수 F(x)=xeˣ-eˣ를 미분하면 F'(x)=eˣ+xeˣ-eˣ=xeˣ로 원래 피적분함수와 정확히 일치함을 검산하였다.

[오답 해설]
- 선지1 ($e$): 부분적분에서 원시함수 xeˣ-eˣ 중 -eˣ 항을 빠뜨리고 xeˣ만 원시함수로 사용하여 [xeˣ]₀¹=e-0=e로 계산한 오류이다.
- 선지2 ($2e-1$): 부분적분 공식의 부호를 반대로 적용(∫f g'=fg+∫f'g로 착각)하여 원시함수를 xeˣ+eˣ로 잘못 구해 [xeˣ+eˣ]₀¹=2e-1로 계산한 오류이다.
- 선지4 (0): 올바른 원시함수 xeˣ-eˣ에서 상한(x=1)의 값 0만 계산하고 하한(x=0)의 값 -1을 빼는 과정을 누락한 오류이다.
- 선지5 (-1): 정적분 계산 시 상한과 하한을 뒤바꿔 대입하여 F(1)-F(0) 대신 F(0)-F(1)=-1-0=-1로 계산한 부호 오류이다.

[핵심개념] 부분적분법 - ∫u dv = uv - ∫v du 공식을 이용해 로그함수의 정적분을 계산하는 방법

[문제파악] 정적분 ∫₁^e ln x dx의 값을 구하는 문제이다.

[부분적분 설정] u=ln x, dv=dx로 놓으면 du=(1/x)dx, v=x이다.

[부분적분 공식 적용] ∫ln x dx = x ln x - ∫x·(1/x)dx = x ln x - ∫1 dx = x ln x - x이다.

[정적분 계산] [x ln x - x]₁^e = (e·ln e - e) - (1·ln 1 - 1) = (e·1 - e) - (0 - 1) = (e-e) - (-1) = 0+1=1이다. (직접 계산하여 1임을 재확인함.)

[검산-그래프적 의미] x=1에서 x=e까지 y=ln x 아래의 넓이는 항상 양수이며, ln x가 [1,e] 구간에서 0에서 1까지 증가하는 완만한 곡선이므로 넓이가 1 정도로 나오는 것은 직관적으로도 타당하다(구간의 폭이 e-1≈1.718이고 최댓값이 1이므로, 넓이 1은 사각형 넓이 1.718보다 작아 합리적인 범위 안에 있다).

[오답 해설]
- 선지2 ($2e-1$): 부분적분 공식의 부호를 반대로 적용(∫u dv=uv+∫v du로 착각)하여 원시함수를 x ln x+x로 잘못 구해 [x ln x+x]₁^e=2e-1로 계산한 오류이다.
- 선지3 (0): 원시함수 x ln x-x에서 상한(x=e)의 값 0만 계산하고 하한(x=1)의 값 -1을 빼는 과정을 누락한 오류이다.
- 선지4 ($e$): 부분적분에서 -∫1dx 항을 빠뜨려 원시함수를 x ln x로만 잘못 구해 [x ln x]₁^e=e-0=e로 계산한 오류이다.
- 선지5 (-1): 정적분 계산 시 상한·하한을 뒤바꿔 대입하여 F(e)-F(1) 대신 F(1)-F(e)=-1로 계산한 부호 오류이다.

🔴 정답: 4번

📌 초정밀 풀이
❶ $u=x,dv=\cos xdx$로 놓으면 $du=dx,v=\sin x$이다.
❷ $\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx$
❸ $\int \sin xdx=-\cos x+C$ 이므로
$\int x\cos xdx=x\sin x-(-\cos x)+C=x\sin x+\cos x+C$

[오답 확인]
① $x\sin x-\cos x+C$: $\int \sin xdx=-\cos x$의 부호를 빼는 과정에서 다시 부호를 잘못 처리한(이중 부호 오류) 실수이다.
② $-x\sin x-\cos x+C$: $v=\sin x$를 $-\sin x$로 착각하여 $uv$의 부호까지 잘못 반영한 오류이다.
③ $x\sin x+C$: 부분적분의 두 번째 항 $-\int vdu$를 통째로 빠뜨린 오류이다.
⑤ $-x\sin x+\cos x+C$: $uv=x\sin x$항의 부호만 잘못 바꾼 오류이다.

[핵심 개념]
부분적분법 $\int udv=uv-\int vdu$와 삼각함수의 기본 적분 $\int \sin xdx=-\cos x+C$.

[검증]
$\frac{d}{dx}(x\sin x+\cos x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$로 원래 피적분함수와 일치함을 직접 계산으로 확인했다.

🔴 정답: 1

📌 초정밀 풀이
❶ $u=\ln x,dv=dx$로 놓으면 $du=\frac{1}{x}dx,v=x$이다.
❷ $${\int }_1^e\ln xdx=[x\ln x{]}_1^e-{\int }_1^{e}x\cdot \frac{1}{x}dx=[x\ln x{]}_1^e-{\int }_1^{e}1dx$$
❸ $[x\ln x{]}_1^e=(e\cdot 1)-(1\cdot 0)=e$, ${\int }_1^{e}1dx=e-1$
❹ 따라서 값은 $e-(e-1)=1$이다.

[핵심 개념]
로그함수의 부정적분에서 흔히 쓰는 부분적분: $u=\ln x,dv=dx$로 놓아 $\int \ln xdx=x\ln x-x+C$를 유도하는 방식과 동일한 원리이다.

[검증]
직접 계산으로 ${\int }_1^e\ln xdx$를 직접 계산하면 정확히 $1$이 나와 결과가 일치함을 확인했다.

[오답 해설]
① ($e$) 부분적분 후 ${\int }_1^{e}1dx=e-1$을 빼는 것을 잊고 $[x\ln x{]}_1^e=e$만 답한 값입니다.
③ ($2e-1$) $[x\ln x{]}_1^e-{\int }_1^{e}1dx$에서 빼야 할 항을 더하여 $e+(e-1)=2e-1$로 계산한 값입니다.
④ ($1-e$) $[x\ln x{]}_1^e=e$ 항을 빠뜨리고 $-{\int }_1^{e}1dx=-(e-1)=1-e$만 답한 값입니다.
⑤ ($0$) $\ln 1=0$이어야 할 것을 $\ln 1=1$로 착각하여 $[x\ln x{]}_1^e=e-1$로 잘못 구한 뒤 ${\int }_1^{e}1dx=e-1$을 빼서 $(e-1)-(e-1)=0$이 된 값입니다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $u=x,dv=e^{x}dx$로 놓으면 $du=dx,v=e^x$이다.
❷ $${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=(1\cdot e-0)-[e^x{]}_0^1$$
❸ $=e-(e-1)=1$

[오답 확인]
① $e-1$: $[x{e}^x{]}_0^1=e$에서 $-{\int }_0^1{e}^{x}dx$ 항을 빠뜨리고 상수항만 뺀 값이다.
② $e$: $\int vdu$ 항 전체를 계산하지 않고 $uv$ 값만 답으로 낸 오류이다.
④ $e+1$: $-{\int }_0^1{e}^{x}dx=-(e-1)$의 부호를 반대로 처리해 더한 오류이다.
⑤ $2$: 우연히 나온 임의의 값으로, 부분적분 과정을 거치지 않고 어림값을 낸 경우이다.

[핵심 개념]
정적분에서의 부분적분법: ${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

[검증]
직접 계산으로 ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$를 직접 계산하면 $1$이 나와 위 결과와 일치함을 확인했다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ $u=x,dv=e^{2x}dx$로 놓으면 $du=dx,v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$이다.
❷ 부분적분 공식 $\int udv=uv-\int vdu$ 에 대입하면
$$\int x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$$
❸ 정리하면 $\frac{2x-1}{4}{e}^{2x}+C$ 이다.

[오답 확인]
① $\frac{x-1}{2}{e}^{2x}+C$: $v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$를 다시 나누는 과정에서 분모 4 대신 2를 사용한 계산 실수이다.
③ $\frac{2x-1}{2}{e}^{2x}+C$: $v=e^{2x}$로 잘못 놓아(계수 $\frac{1}{2}$ 누락) $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}$를 반영하지 못한 오류이다.
④ $\frac{2x+1}{4}{e}^{2x}+C$: $-\int vdu$의 부호를 반대로 처리한 오류이다.
⑤ $\frac{x^2}{2}{e}^{2x}+C$: 부분적분을 쓰지 않고 곱의 각 인수를 따로 적분한 잘못된 방법이다.

[핵심 개념]
부분적분법 $\int udv=uv-\int vdu$, 다항함수와 지수함수의 곱의 적분에서는 다항함수를 $u$로, 지수함수를 $dv$로 선택한다.

[검증]
직접 계산으로 $\frac{d}{dx}\left(\frac{2x-1}{4}{e}^{2x}\right)$을 계산하면 $x{e}^{2x}$이 되어 원래 피적분함수와 일치함을 확인했다.

[핵심개념] 부분적분법 - 두 함수의 곱으로 이루어진 피적분함수를 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx 공식을 이용해 적분하는 방법

[문제파악] 정적분 ∫₀¹xeˣdx의 값을 구하는 문제이다.

[부분적분 설정] f(x)=x, g'(x)=eˣ로 놓으면 f'(x)=1, g(x)=eˣ이다.

[부분적분 공식 적용] ∫xeˣdx = xeˣ - ∫eˣdx = xeˣ - eˣ + C이다.

[정적분 계산] ∫₀¹xeˣdx = [xeˣ-eˣ]₀¹ = (1·e¹-e¹) - (0·e⁰-e⁰) = (e-e) - (0-1) = 0-(-1) = 1이다. (직접 계산하여 1임을 재확인함.)

[검산] 부정적분 xeˣ-eˣ=(x-1)eˣ의 도함수를 직접 구하면 d/dx[(x-1)eˣ]=eˣ+(x-1)eˣ=xeˣ로 원래 피적분함수와 일치하여 부분적분이 올바르게 수행되었음을 확인할 수 있다.

[참고] x=1에서 (x-1)eˣ=0이 되어 상한에서 값이 0으로 깔끔하게 사라지는 점이 이 문제의 계산을 특히 간단하게 만드는 요인이다.

[오답 해설]
- 선지1 ($e$): 부분적분에서 원시함수 (x-1)eˣ 중 -eˣ에 해당하는 부분을 빠뜨리고 xeˣ만 원시함수로 사용하여 [xeˣ]₀¹=e-0=e로 계산한 오류이다.
- 선지2 ($2e-1$): 부분적분 공식의 부호를 반대로 적용(∫f g'=fg+∫f'g로 착각)하여 원시함수를 xeˣ+eˣ로 잘못 구해 [xeˣ+eˣ]₀¹=2e-1로 계산한 오류이다.
- 선지3 (0): 올바른 원시함수 (x-1)eˣ에서 상한(x=1)의 값 0만 계산하고 하한(x=0)의 값 -1을 빼는 과정을 누락한 오류이다.
- 선지4 (-1): 정적분 계산 시 상한과 하한을 뒤바꿔 대입하여 F(1)-F(0) 대신 F(0)-F(1)=-1로 계산한 부호 오류이다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 부분적분법 공식 \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx 를 이용하기 위해 u=x,\ v'=e^{x} 로 놓는다.
❷ u=x 이므로 u'=1, v'=e^{x} 이므로 v=e^{x} 이다.
❸ \int x e^{x}\,dx = xe^{x} - \int 1\cdot e^{x}\,dx = xe^{x} - e^{x} + C = (x-1)e^{x} + C
[오답 확인]
① (x+1)e^{x}+C: -e^{x} 항을 더하는 것으로 착각하여 부호를 반대로 처리한 오류이다.
② xe^{x}+C: uv 항만 남기고 \int u'v\,dx 항을 빠뜨린 오류이다.
④ (x-1)e^{-x}+C: v'=e^{x}를 적분할 때 v=e^{-x}로 착각한 오류이다.
⑤ \frac{x^2}{2}e^{x}+C: 부분적분 대신 각 인수를 따로 적분하여 곱한 오류이다.
[핵심 개념] 부분적분법: \int u'v\,dx = uv-\int uv'\,dx, 다항함수와 지수함수의 곱은 다항함수를 u로 지수함수를 v'으로 잡는다.

[정답 확인]
최종 답은 (x-1)e^{x}+C이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.