고등 수학 부정적분과 정적분의 계산 예상문제

🔴 정답 ② $\frac{2}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분을 구하는 단계 → $\int (x^2-3x+2)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x+C$
❷ 미적분의 기본정리 적용 → ${\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]}_0^2$
❸ 계산 → $x=2$대입: $\frac{8}{3}-6+4=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}$, $x=0$대입: $0$이므로 정적분 값은 $\frac{2}{3}$

[오답 확인]
① $-\frac{16}{3}$: $-\frac{3x^2}{2}$항을 $-3x^2$으로(2로 나누지 않고) 적분한 값.
③ $-\frac{2}{3}$: 정적분 값의 부호를 반대로 계산한 값.
④ $6$: $\frac{x^3}{3}$항을 $x^3$으로(3으로 나누지 않고) 적분한 값.
⑤ $\frac{38}{3}$: $-3x$의 부호를 $+3x$로 잘못 적분한 값.

[핵심 개념] 정적분의 계산(미적분의 기본정리)

🔴 정답 ④ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 사용할 개념 확인 → 정적분의 선형성(합·차, 상수배)
$${\int }_1^3\{2f(x)-3g(x)\}dx=2{\int }_1^{3}f(x)dx-3{\int }_1^{3}g(x)dx$$
❷ 주어진 값 대입 → $2\times 5-3\times 2$
❸ 계산 → $10-6=4$

[오답 확인]
① $3$: 계수를 적용하지 않고 주어진 값을 그대로 뺀 값($5-2$).
② $8$: $g(x)$의 계수 $3$을 $1$로 잘못 적용한 값($2\times 5-1\times 2$).
③ $11$: $f(x),g(x)$의 계수를 서로 바꾸어 계산한 값($3\times 5-2\times 2$).
⑤ $16$: $-3g(x)$의 부호를 $+3g(x)$로 잘못 계산한 값($2\times 5+3\times 2$).

[핵심 개념] 정적분의 선형성(기본 성질)

🔴 정답 ③ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 도함수로부터 원함수를 구하는 단계 → $f(x)=\int (6x-4)dx=3x^2-4x+C$
❷ 조건 $f(1)=3$ 대입 → $3-4+C=3\Rightarrow C=4$
❸ 계산 및 해석 → $f(x)=3x^2-4x+4$이므로 $f(0)=4$

[오답 확인]
① $0$: 적분상수 $C$를 구하지 않고 $C=0$으로 두고 계산한 값.
② $-4$: $-4x$의 부호를 $+4x$로 잘못 적분하여($3x^2+4x+C$) 생긴 값.
④ $1$: $6x$를 $6x^2$으로(2로 나누지 않고) 적분하여 생긴 값.
⑤ $2$: 조건식 $3-4+C=3$을 정리하는 과정에서 계산 실수로 $C=2$로 구한 값.

[핵심 개념] 도함수로부터 원함수 결정(부정적분)

🔴 정답 ① $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분을 구하는 단계 → 다항함수의 부정적분 공식 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$를 이용하면
$$F(x)=\int (3x^2+4x-1)dx=x^3+2x^2-x+C$$
❷ 조건 $F(0)=2$를 대입하여 적분상수 결정 → $F(0)=C=2$
❸ 계산 및 해석 → $F(x)=x^3+2x^2-x+2$이므로 $F(1)=1+2-1+2=4$

[오답 확인]
② $0$: $4x$항의 부호를 잘못 읽어 $-4x$로 적분하여 생긴 값($x^3-2x^2-x+2$에서 $F(1)=0$).
③ $2$: 적분상수 $C$를 구하지 않고 $C=0$으로 두고 계산한 값.
④ $5$: 조건식을 정리하는 과정에서 계산 실수로 $C=3$으로 잘못 구한 값.
⑤ $6$: $-1$의 부정적분을 $-x$가 아닌 $+x$로 잘못 계산한 값.

[핵심 개념] 다항함수의 부정적분과 적분상수 결정

🔴 정답 ③ $-30$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분을 구하면 $F(x)=\frac{x\left(-4x^2-3x+6\right)}{6}$이다.
❷ 미적분의 기본정리에 의해 구하는 값은 $F(3)-F(-3)$이다.
❸ $F(3)=-\frac{39}{2}$, $F(-3)=\frac{21}{2}$이므로 값은 $-30$이다.

[핵심 개념] 정적분의 계산(미적분의 기본정리)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $-30$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $\frac{84}{5}$

📌 초정밀 풀이
❶ 개념 확인 → $f(x)=x^4-3x^2+5$는 우함수이므로 ${\int }_{-2}^{2}f(x)dx=2{\int }_0^{2}f(x)dx$
❷ 부정적분 계산 → $\int (x^4-3x^2+5)dx=\frac{x^5}{5}-x^3+5x+C$
❸ 계산 → $${\left[\frac{x^5}{5}-x^3+5x\right]}_0^2=\frac{32}{5}-8+10=\frac{32}{5}+2=\frac{42}{5}$$, 따라서 $2\times \frac{42}{5}=\frac{84}{5}$

[오답 확인]
② $-\frac{116}{5}$: $\frac{32}{5}-8+10$을 계산하는 과정에서 부호를 잘못 적용해 $\frac{32}{5}-8-10$으로 계산한 뒤 $2$배 한 값.
③ $\frac{42}{5}$: 우함수 성질을 적용하면서 $2$배 하는 것을 빠뜨리고 ${\int }_0^{2}f(x)dx$만 계산한 값.
④ $\frac{244}{5}$: $-3x^2$의 부호를 $+3x^2$으로 잘못 적분한 값.
⑤ $68$: $\frac{x^5}{5}$항을 $x^5$으로(5로 나누지 않고) 적분한 값.

[핵심 개념] 우함수의 정적분(대칭구간에서의 성질)

🔴 정답 ④ $\frac{16}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분을 구하면 $F(x)=\frac{x\left(10x^2-15x+6\right)}{6}$이다.
❷ 미적분의 기본정리에 의해 구하는 값은 $F(1)-F(-1)$이다.
❸ $F(1)=\frac{1}{6}$, $F(-1)=-\frac{31}{6}$이므로 값은 $\frac{16}{3}$이다.

[핵심 개념] 정적분의 계산(미적분의 기본정리)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{16}{3}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $-6$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분하면 $f(x)=x\left(2x^2-2x-5\right)+C$이다.
❷ $f(-1)=9$를 대입해 $C$를 구하면 $C=8$이다.
❸ 따라서 $f(-2)=-14+(8)=-6$이다.

[핵심 개념] 부정적분과 미정계수 결정

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $-6$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.