고등 수학 삼각함수 그래프의 개형과 주기 활용 예상문제

🔴 정답 ⑤ $8$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=a\cos bx+d$의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다. 두 식을 연립하면 $a=\frac{(7)-(-1)}{2}=4$, $d=\frac{(7)+(-1)}{2}=3$이다.
❷ 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이고 이것이 $2\pi$이므로 $b=1$이다.
❸ 따라서 $a+b+d=4+1+(3)=8$이다.

[핵심 개념] 코사인함수 $y=a\cos bx+d$의 최댓값·최솟값·주기

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $8$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ② $7$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=a\sin bx+d$의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다. 두 식을 연립하면 $a=\frac{(3)-(-1)}{2}=2$, $d=\frac{(3)+(-1)}{2}=1$이다.
❷ 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이고 이것이 $\frac{2\pi }{4}$이므로 $b=4$이다.
❸ 따라서 $a+b+d=2+4+(1)=7$이다.

[핵심 개념] 사인함수 $y=a\sin bx+d$의 최댓값·최솟값·주기

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $7$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 0

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)$는 주기가 $6$인 함수이므로 $f(100)=f(100-6k)$ (단, $k$는 정수)가 성립한다.
❷ $100=6\times 16+4$이므로 $100-6\times 16=4$이다. 즉 $f(100)=f(4)$이다.
❸ $0\le x<6$ 범위에 $x=4$가 포함되므로 $f(4)=4^2-4\times 4=16-16=0$이다.

[오답 확인] 100을 6으로 나눈 나머지를 잘못 계산(예: 96을 빼지 않고 6배수 처리를 잘못하여 나머지를 2나 3으로 착각)하면 $f(2)=4-8=-4$ 또는 $f(3)=9-12=-3$ 같은 오답이 나올 수 있으므로 나눗셈 계산을 정확히 해야 한다.

[핵심 개념] 주기함수 $f(x+p)=f(x)$에서 임의의 $x$에 대한 함숫값은 $x$를 주기 $p$로 나눈 나머지에 해당하는 구간의 식으로 계산한다.

[오답 해설]
- 선지 2번 (-4): 100을 6으로 나눈 나머지를 2로 잘못 계산하여 $f(2)=2^2-4\times 2=-4$로 오인한 경우.
- 선지 3번 (-3): 나머지를 3으로 잘못 계산하여 $f(3)=3^2-4\times 3=-3$으로 오인한 경우.
- 선지 4번 (32): $f(4)=4^2-4\times 4$ 계산에서 부호를 잘못 적용해 $4^2+4\times 4=32$로 계산한 경우.
- 선지 5번 (9600): 주기성을 무시하고 $x=100$을 식 $x^2-4x$에 그대로 대입해 $100^2-4\times 100=9600$으로 계산한 경우.

🔴 정답 ④ $9$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=a\cos bx+d$의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다. 두 식을 연립하면 $a=\frac{(5)-(-5)}{2}=5$, $d=\frac{(5)+(-5)}{2}=0$이다.
❷ 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이고 이것이 $\frac{2\pi }{4}$이므로 $b=4$이다.
❸ 따라서 $a+b+d=5+4=9$이다.

[핵심 개념] 코사인함수 $y=a\cos bx+d$의 최댓값·최솟값·주기

[검산]
$a=5$, $b=4$, $d=0$을 대입하면 최댓값은 $5$, 최솟값은 $-5$, 주기는 $rac2pi4$로 주어진 조건과 모두 일치한다.

🔴 정답 ① $3$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=a\sin bx+d$의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다. 두 식을 연립하면 $a=\frac{(1)-(-9)}{2}=5$, $d=\frac{(1)+(-9)}{2}=-4$이다.
❷ 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이고 이것이 $\frac{2\pi }{2}$이므로 $b=2$이다.
❸ 따라서 $a+b+d=5+2+(-4)=3$이다.

[핵심 개념] 사인함수 $y=a\sin bx+d$의 최댓값·최솟값·주기

🔴 정답 ③ $8$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=a\cos bx+d$의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다. 두 식을 연립하면 $a=\frac{(5)-(-3)}{2}=4$, $d=\frac{(5)+(-3)}{2}=1$이다.
❷ 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이고 이것이 $\frac{2\pi }{3}$이므로 $b=3$이다.
❸ 따라서 $a+b+d=4+3+(1)=8$이다.

[핵심 개념] 코사인함수 $y=a\cos bx+d$의 최댓값·최솟값·주기

🔴 정답 ④ $3$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=a\cos bx+d$의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다. 두 식을 연립하면 $a=\frac{(2)-(-6)}{2}=4$, $d=\frac{(2)+(-6)}{2}=-2$이다.
❷ 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이고 이것이 $2\pi$이므로 $b=1$이다.
❸ 따라서 $a+b+d=4+1+(-2)=3$이다.

[핵심 개념] 코사인함수 $y=a\cos bx+d$의 최댓값·최솟값·주기

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $3$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $13$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=a\cos bx+d$의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다. 두 식을 연립하면 $a=\frac{(9)-(-1)}{2}=5$, $d=\frac{(9)+(-1)}{2}=4$이다.
❷ 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이고 이것이 $\frac{2\pi }{4}$이므로 $b=4$이다.
❸ 따라서 $a+b+d=5+4+(4)=13$이다.

[핵심 개념] 코사인함수 $y=a\cos bx+d$의 최댓값·최솟값·주기