고등 수학 삼각함수(그래프, 사인법칙·코사인법칙, 부채꼴의 넓이) 예상문제

🔴 정답 ④ $5$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+2$의 최댓값
❷ 개념: $\sin (\cdot )$의 최댓값은 $1$이므로 $f(x)$의 최댓값은 $3\times 1+2$
❸ 계산: $3\times 1+2=5$
❹ 해석: 최댓값은 $5$이다.

[오답 확인]
① $\sin (\cdot )=-1$로 착각(최솟값 계산)한 경우 ($3\times (-1)+2=-1$)
② 진폭 $3$을 곱하지 않고 $\sin (\cdot )=0$으로 취급한 경우 ($0+2=2$)
③ 평행이동 $+2$를 빠뜨린 경우 ($3\times 1=3$)
⑤ 평행이동을 이중으로 더하는 계산 실수를 한 경우 ($3+2+2=7$)

[핵심 개념] 삼각함수의 그래프(최댓값·최솟값, 평행이동)

🔴 정답 ③ $\frac{2\pi }{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $y=-2\cos 3x+1$의 주기
❷ 공식: $y=a\cos (bx)+d$의 주기는 $\frac{2\pi }{|b|}$
❸ 계산: $b=3$이므로 주기 $=\frac{2\pi }{3}$
❹ 해석: 주기는 $\frac{2\pi }{3}$이다.

[오답 확인]
① $b$값 자체를 주기로 착각한 경우
② $\tan$함수의 주기 공식 $\frac{\pi }{b}$과 혼동한 경우 ($\frac{\pi }{3}$)
④ 진폭의 부호(음수) 때문에 주기가 두 배가 된다고 잘못 생각한 경우 ($\frac{4\pi }{3}$)
⑤ $\frac{2\pi }{b}$에서 나눗셈 대신 곱셈을 한 경우 ($2\pi \times 3=6\pi$)

[핵심 개념] 삼각함수의 주기 $T=\frac{2\pi }{|b|}$

🔴 정답 ③ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 외접원의 반지름 $R$
❷ 공식(사인법칙): $\frac{a}{\sin A}=2R$
❸ 계산: $$2R=\frac{4}{\sin 30^{\circ }}=\frac{4}{1/2}=8\Rightarrow R=4$$
❹ 해석: 외접원의 반지름은 $4$이다.

[오답 확인]
① $R=\frac{\sin A}{a}$로 뒤집어 계산한 경우 ($\frac{1/2}{4}=\frac{1}{8}$)
② $R=a\sin A$로 잘못 계산한 경우 ($4\times \frac{1}{2}=2$)
④ $2R$ 값을 $R$로 착각해 그대로 답한 경우
⑤ $2R=8$을 구한 뒤 다시 $2$를 곱하는 실수를 한 경우

[핵심 개념] 사인법칙과 외접원의 반지름 $\frac{a}{\sin A}=2R$

🔴 정답 ③ $5\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 반지름 $r=6$, 중심각 $\theta =\frac{5\pi }{6}$(라디안)인 부채꼴의 호의 길이 $l$
❷ 공식: 부채꼴의 호의 길이 $l=r\theta$ (단, $\theta$는 라디안)
❸ 계산: $l=6\times \frac{5\pi }{6}=5\pi$
❹ 해석: 호의 길이는 $5\pi$이다.

[오답 확인]
① 반지름을 곱하지 않고 중심각의 크기만 답한 경우
② 반지름 대신 지름 $12$를 곱한 경우 ($12\times \frac{5\pi }{6}=10\pi$)
④ 넓이 공식 $\frac{1}{2}{r}^2\theta$을 잘못 적용한 경우 ($\frac{1}{2}\times 36\times \frac{5\pi }{6}=15\pi$)
⑤ 넓이 공식에서 $\frac{1}{2}$을 빠뜨린 경우 ($36\times \frac{5\pi }{6}=30\pi$)

[핵심 개념] 부채꼴의 호의 길이 $l=r\theta$

🔴 정답 ③ $\frac{5\pi }{8}$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 반지름 $r=8$, 넓이 $S=20\pi$인 부채꼴의 중심각 $\theta$
❷ 공식: 부채꼴의 넓이 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta \Rightarrow \theta =\frac{2S}{r^2}$
❸ 계산: $$\theta =\frac{2\times 20\pi }{8^2}=\frac{40\pi }{64}=\frac{5\pi }{8}$$
❹ 해석: 중심각의 크기는 $\frac{5\pi }{8}$이다.

[오답 확인]
① $r^2$ 대신 $r$로 나눈 경우 ($\theta =\frac{2S}{r}=\frac{40\pi }{8}=5\pi$)
② 공식의 $2$를 빠뜨린 경우 ($\theta =\frac{S}{r^2}=\frac{20\pi }{64}=\frac{5\pi }{16}$)
④ 반지름 대신 지름 $16$을 사용한 경우 ($\theta =\frac{2S}{16^2}=\frac{5\pi }{32}$)
⑤ $S$를 $2r$로 나눈 경우 ($\theta =\frac{S}{2r}=\frac{20\pi }{16}=\frac{5\pi }{4}$)

[핵심 개념] 부채꼴의 넓이 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$

🔴 정답 ① $4\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 호의 길이 $l=r\theta =6\times \frac{1}{3}\pi =2\pi$이다.
❷ 넓이 $$S=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}\times 6^2\times \frac{1}{3}\pi =6\pi$$이다.
❸ 따라서 $S-l=6\pi -(2\pi )=4\pi$이다.

[핵심 개념] 부채꼴의 호의 길이 $l=r\theta$와 넓이 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}rl$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $4\pi$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $\sqrt{181}$

📌 초정밀 풀이
❶ 코사인법칙 $${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AC}\cos A$$를 적용한다.
❷ $\cos 90^{\circ }=0$이므로 ${\overline{BC}}^2=9^2+10^2-2\times 9\times 10\times (0)=181$이다.
❸ 따라서 $\overline{BC}=\sqrt{181}=\sqrt{181}$이다.

[핵심 개념] 코사인법칙을 이용한 변의 길이 계산

🔴 정답 ② $\frac{1}{5}$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 가장 긴 변 $c=7$에 대응하는(=가장 큰) 각 $C$의 코사인값
❷ 공식(코사인법칙): $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
❸ 계산: $$\cos C=\frac{25+36-49}{2\times 5\times 6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$$
❹ 해석: 가장 큰 각의 코사인값은 $\frac{1}{5}$이며 양수이므로 이 삼각형은 예각삼각형이다.

[오답 확인]
① 분자의 부호를 반대로 계산한 경우 ($\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}=-\frac{1}{5}$)
③ 분모의 $2$를 빠뜨린 경우 ($\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$)
④ 가장 큰 각이 아닌 각 $A$(변 $a$에 대응)의 코사인값을 구한 경우 ($\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5}{7}$)
⑤ 분자를 $a^2+b^2+c^2$로 잘못 계산한 경우 ($\frac{110}{60}=\frac{11}{6}$)

[핵심 개념] 코사인법칙으로 각의 크기(삼각형의 모양) 구하기