고등 수학 삼각함수를 포함한 방정식 예상문제

🔴 정답 ④ $\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 주어진 방정식을 정리하면 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.
❷ 사인함수의 그래프(또는 단위원)에서 $0\le \theta <2\pi$ 범위의 해를 모두 찾으면 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 또는 $\theta =\frac{2\pi }{3}$이다.
❸ 두 해의 합은 $\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각방정식의 풀이(단위원 위에서 대칭인 두 해)

🔴 정답 ⑤ $\frac{8\pi }{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 주어진 방정식을 정리하면 $\tan \theta =-\frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
❷ 탄젠트함수의 그래프(또는 단위원)에서 $0\le \theta <2\pi$ 범위의 해를 모두 찾으면 $\theta =\frac{5\pi }{6}$ 또는 $\theta =\frac{11\pi }{6}$이다.
❸ 두 해의 합은 $\frac{5\pi }{6}+\frac{11\pi }{6}=\frac{8\pi }{3}$이다.

[핵심 개념] 삼각방정식의 풀이(단위원 위에서 대칭인 두 해)

🔴 정답 ③ $\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 주어진 방정식을 정리하면 $\sin \theta =\frac{1}{2}$이다.
❷ 사인함수의 그래프(또는 단위원)에서 $0\le \theta <2\pi$ 범위의 해를 모두 찾으면 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 또는 $\theta =\frac{5\pi }{6}$이다.
❸ 두 해의 합은 $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각방정식의 풀이(단위원 위에서 대칭인 두 해)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\pi$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ $\cos x\ne 0$인 구간에서 양변을 $\cos x$로 나누면 $\tan x=1$이다. (만약 $\cos x=0$이면 $\sin x=\pm 1\ne 0=\cos x$이므로 $\cos x=0$은 해가 될 수 없어, 나누는 과정에서 해를 잃지 않는다.)
❷ $0\le x<2\pi$에서 $\tan x=1$을 만족하는 $x$는 $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$이다.
❸ 두 값을 더하면 $\frac{\pi }{4}+\frac{5\pi }{4}=\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$이다.

[오답 확인]
① $\frac{\pi }{2}$: 두 근의 차를 합으로 착각한 경우 나오는 값이다.
② $\pi$: $x=\frac{\pi }{4}$만 구하고 $\frac{3\pi }{4}$(오답으로 잘못 추가한 각)를 더한 경우 나오는 값이다.
④ $2\pi$: 근을 잘못 구해 $\frac{3\pi }{4}$와 $\frac{5\pi }{4}$를 더한 경우 나오는 값이다.
⑤ $\frac{5\pi }{2}$: $\frac{5\pi }{4}$를 두 번 더하는 계산 실수를 했을 때 나오는 값이다.

[핵심 개념] $\sin x=\cos x$ 꼴은 $\tan x=1$로 변형하여 푸는 것이 표준적이며, 나누는 과정에서 잃는 해가 없는지 확인하는 습관이 중요하다.

[검증] 그래프상으로 $y=\sin x$와 $y=\cos x$는 $x=\frac{\pi }{4}$와 $x=\frac{5\pi }{4}$에서 교차하며, 직접 대입으로도 $\sin (\pi /4)=\cos (\pi /4)$, $\sin (5\pi /4)=\cos (5\pi /4)$가 성립함을 확인하였다.

🔴 정답 ④ $\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 주어진 방정식을 정리하면 $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
❷ 사인함수의 그래프(또는 단위원)에서 $0\le \theta <2\pi$ 범위의 해를 모두 찾으면 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 또는 $\theta =\frac{3\pi }{4}$이다.
❸ 두 해의 합은 $\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각방정식의 풀이(단위원 위에서 대칭인 두 해)

🔴 정답 ④ $2\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 주어진 방정식을 정리하면 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.
❷ 코사인함수의 그래프(또는 단위원)에서 $0\le \theta <2\pi$ 범위의 해를 모두 찾으면 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 또는 $\theta =\frac{11\pi }{6}$이다.
❸ 두 해의 합은 $\frac{\pi }{6}+\frac{11\pi }{6}=2\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각방정식의 풀이(단위원 위에서 대칭인 두 해)

🔴 정답 ① $\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 주어진 방정식을 정리하면 $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
❷ 사인함수의 그래프(또는 단위원)에서 $0\le \theta <2\pi$ 범위의 해를 모두 찾으면 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 또는 $\theta =\frac{3\pi }{4}$이다.
❸ 두 해의 합은 $\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각방정식의 풀이(단위원 위에서 대칭인 두 해)

🔴 정답 ⑤ $2\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 주어진 방정식을 정리하면 $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
❷ 코사인함수의 그래프(또는 단위원)에서 $0\le \theta <2\pi$ 범위의 해를 모두 찾으면 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 또는 $\theta =\frac{7\pi }{4}$이다.
❸ 두 해의 합은 $\frac{\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}=2\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각방정식의 풀이(단위원 위에서 대칭인 두 해)