고등 수학 삼각함수를 포함한 부등식 예상문제

🔴 정답 ① $\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 부등식을 정리하면 $\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
❷ 사인함수 그래프가 기준값 이상인 구간을 단위원(또는 그래프)에서 찾으면 부등식을 만족시키는 구간은 $\alpha =\frac{\pi }{4},\beta =\frac{3\pi }{4}$이다.
❸ 따라서 $\alpha +\beta =\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각부등식의 풀이(그래프 또는 단위원 이용)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\pi$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $\frac{\pi }{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부등식을 정리하면 $\cos \theta \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
❷ 코사인함수 그래프가 기준값 이하인 구간을 단위원(또는 그래프)에서 찾으면 부등식을 만족시키는 구간은 $\alpha =\frac{3\pi }{4},\beta =\frac{5\pi }{4}$이다.
❸ 따라서 $\beta -\alpha =\frac{\pi }{2}$이다.

[핵심 개념] 삼각부등식의 풀이(그래프 또는 단위원 이용)

🔴 정답 ③ $\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 부등식을 정리하면 $\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
❷ 사인함수 그래프가 기준값 이상인 구간을 단위원(또는 그래프)에서 찾으면 부등식을 만족시키는 구간은 $\alpha =\frac{\pi }{4},\beta =\frac{3\pi }{4}$이다.
❸ 따라서 $\alpha +\beta =\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각부등식의 풀이(그래프 또는 단위원 이용)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\pi$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $\tan x$는 $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$에서 $-\infty$부터 $+\infty$까지 단조증가하는 함수이다.
❷ $\tan x=\sqrt{3}$이 되는 x는 이 구간에서 $x=\frac{\pi }{3}$ 하나뿐이다.
❸ 탄젠트함수가 단조증가이므로 $\tan x<\sqrt{3}$을 만족시키는 x는 $x=\frac{\pi }{3}$보다 작은 모든 x, 즉 $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{3}$이다.
❹ 따라서 $\theta =\frac{\pi }{3}$이다.

[오답 확인]
① $\frac{\pi }{6}$: $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$과 $\sqrt{3}$을 혼동. ② $\frac{\pi }{4}$: $\tan \frac{\pi }{4}=1$이라는 값과 혼동. ④ $\frac{5\pi }{12}$: $75^{\circ }$ 등 다른 특수각과 착각. ⑤ $\frac{\pi }{2}$: 정의역의 끝값을 그대로 답으로 착각(단, $x=\pi /2$에서는 tan가 정의되지 않음).

[핵심 개념]
탄젠트함수는 각 구간 $(-\pi /2+n\pi ,\pi /2+n\pi )$ 안에서 항상 단조증가하므로, $\tan x<k$ 형태의 부등식은 $\tan x=k$인 한 점을 기준으로 그보다 작은 구간을 바로 판단할 수 있다.

🔴 정답 ③ $\frac{\pi }{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부등식을 정리하면 $\sin \theta \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.
❷ 사인함수 그래프가 기준값 이하인 구간을 단위원(또는 그래프)에서 찾으면 부등식을 만족시키는 구간은 $\alpha =\frac{4\pi }{3},\beta =\frac{5\pi }{3}$이다.
❸ 따라서 $\beta -\alpha =\frac{\pi }{3}$이다.

[핵심 개념] 삼각부등식의 풀이(그래프 또는 단위원 이용)

🔴 정답 ⑤ $\frac{\pi }{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부등식을 정리하면 $\cos \theta \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.
❷ 코사인함수 그래프가 기준값 이하인 구간을 단위원(또는 그래프)에서 찾으면 부등식을 만족시키는 구간은 $\alpha =\frac{5\pi }{6},\beta =\frac{7\pi }{6}$이다.
❸ 따라서 $\beta -\alpha =\frac{\pi }{3}$이다.

[핵심 개념] 삼각부등식의 풀이(그래프 또는 단위원 이용)

🔴 정답 ② $2\pi$

📌 초정밀 풀이
❶ 부등식을 정리하면 $\cos \theta \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.
❷ 코사인함수 그래프가 기준값 이하인 구간을 단위원(또는 그래프)에서 찾으면 부등식을 만족시키는 구간은 $\alpha =\frac{5\pi }{6},\beta =\frac{7\pi }{6}$이다.
❸ 따라서 $\alpha +\beta =2\pi$이다.

[핵심 개념] 삼각부등식의 풀이(그래프 또는 단위원 이용)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $2\pi$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $\frac{4\pi }{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 기준각 ${\alpha }_0$을 구한다: 주어진 함숫값을 만족시키는 기본각은 $\frac{\pi }{3}$이다.
❷ 코사인함수 그래프가 기준값 이하인 구간을 단위원(또는 그래프)에서 찾으면 부등식을 만족시키는 구간은 $[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}]$이다.
❸ 따라서 $\beta -\alpha =\frac{4\pi }{3}$이다.

[핵심 개념] 삼각부등식의 풀이(그래프 또는 단위원 이용)