고등 수학 삼각함수의 최대최소와 합성 예상문제

🔴 정답: 4번
📌 초정밀 풀이
❶ $y=3\sin x+4\cos x$는 $a\sin x+b\cos x$ 꼴이므로 삼각함수의 합성을 이용한다.
❷ $R=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$이므로 $y=5\sin (x+\alpha )$ (단, $\cos \alpha =\frac{3}{5},\sin \alpha =\frac{4}{5}$)로 나타낼 수 있다.
❸ $-1\le \sin (x+\alpha )\le 1$이므로 최댓값 $M=5$, 최솟값 $m=-5$이다.
❹ 따라서 $M-m=5-(-5)=10$.
[오답 확인]
① 5: $R$ 값 자체를 답으로 착각한 경우.
② 6: 계산 실수로 $M-m$을 잘못 구한 경우.
③ 8: $\sqrt{3^2+4^2}$를 잘못 계산한 경우.
⑤ 12: $M-m$을 잘못된 식으로 계산한 경우.
[핵심 개념] 삼각함수의 합성 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha )$, 최댓값 $\sqrt{a^2+b^2}$, 최솟값 $-\sqrt{a^2+b^2}$.

🔴 정답: 2번
📌 초정밀 풀이
❶ $y=\sqrt{3}\sin x-\cos x$는 $a\sin x+b\cos x$ 꼴로 $a=\sqrt{3},b=-1$이다.
❷ $R=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$.
❸ 따라서 $y=2\sin (x+\alpha )$ 꼴이 되어 최댓값은 $2$이다.
[오답 확인]
① √2: $\sqrt{3-1}$처럼 부호를 잘못 처리해 계산한 값.
③ 3: $a+|b|$를 그대로 답으로 착각한 경우.
④ √3+1: 합성을 하지 않고 $a,b$의 절댓값을 단순히 더한 경우.
⑤ 4: $a^2+b^2=4$에서 제곱근을 취하지 않은 경우.
[핵심 개념] 삼각함수의 합성 공식 $R=\sqrt{a^2+b^2}$.
[검증] $x$를 0~2π 구간에서 수치 확인하여 최댓값이 정확히 2.000000...에 수렴함을 확인.

🔴 정답: 2번
📌 초정밀 풀이
❶ $y=2\cos x-1$에서 $-1\le \cos x\le 1$이다.
❷ $\cos x=1$일 때 $y=2(1)-1=1$이 최댓값 $M$이다.
❸ $\cos x=-1$일 때 $y=2(-1)-1=-3$이 최솟값 $m$이다.
❹ 따라서 $M+m=1+(-3)=-2$.
[오답 확인]
① -4: 상수항 처리와 곱셈을 동시에 잘못한 경우.
③ 0: 상수항 $-1$을 무시하고 $M+m=2+(-2)=0$으로 계산한 경우.
④ 2: 부호 처리 실수.
⑤ 4: $M+m$ 대신 $M-m=1-(-3)=4$를 구한 경우.
[핵심 개념] $y=a\cos x+b$ 꼴의 최댓값은 $a+b$, 최솟값은 $-a+b$ ($a>0$인 경우).
[검증] $\cos x$의 값을 $-1$부터 $1$까지 촘촘히 대입한 직접 대입해 확인하면 $y$의 최댓값 1.0, 최솟값 -3.0으로 확인, $M+m=-2$.

🔴 정답: 2번
📌 초정밀 풀이
❶ $y=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ (이배각 공식 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 이용).
❷ $-1\le \sin 2x\le 1$이므로 $-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}$.
❸ 따라서 최댓값은 $\frac{1}{2}$.
[오답 확인]
① 1/4: 계수 처리 과정에서 계산 실수.
③ 1: $\sin x,\cos x$가 동시에 1이 될 수 있다고 착각한 경우(실제로는 불가능).
④ √2/2: $\sin x+\cos x$의 최댓값과 혼동한 경우.
⑤ 2: 이배각 공식의 계수 $\frac{1}{2}$을 곱하지 않은 경우.
[핵심 개념] 이배각공식 $\sin 2x=2\sin x\cos x$를 이용한 변형 후 최대·최소.
[검증] $x=\pi /4$ 대입 시 $$y=\sin (\pi /4)\cos (\pi /4)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$$로 최댓값이 실제로 달성됨을 확인.

[정답 확인]
최종 답은 1/2이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

🔴 정답 ⑤ $1700$

📌 초정밀 풀이
❶ 삼각함수의 합성에 의해 $$20\sin \theta +21\cos \theta =\sqrt{20^2+21^2}\sin (\theta +\phi )=29\sin (\theta +\phi )$$ (단, $\phi$는 $\cos \phi =\frac{20}{29},\sin \phi =\frac{21}{29}$인 각)이다.
❷ 따라서 $f(\theta )=29\sin (\theta +\phi )-3$이고, $\sin (\theta +\phi )$의 값의 범위가 $[-1,1]$이므로 최댓값 $M=29-3=26$, 최솟값 $m=-29-3=-32$이다.
❸ 따라서 $M^2+m^2=(26{)}^2+(-32{)}^2=1700$이다.

[핵심 개념] 삼각함수의 합성 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$

🔴 정답 ② $10$

📌 초정밀 풀이
❶ 삼각함수의 합성에 의해 $$1\sin \theta +0\cos \theta =\sqrt{1^2+0^2}\sin (\theta +\phi )=1\sin (\theta +\phi )$$ (단, $\phi$는 $\cos \phi =\frac{1}{1},\sin \phi =\frac{0}{1}$인 각)이다.
❷ 따라서 $f(\theta )=1\sin (\theta +\phi )+2$이고, $\sin (\theta +\phi )$의 값의 범위가 $[-1,1]$이므로 최댓값 $M=1+2=3$, 최솟값 $m=-1+2=1$이다.
❸ 따라서 $M^2+m^2=(3{)}^2+(1{)}^2=10$이다.

[핵심 개념] 삼각함수의 합성 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$

🔴 정답 ④ $586$

📌 초정밀 풀이
❶ 삼각함수의 합성에 의해 $$8\sin \theta +15\cos \theta =\sqrt{8^2+15^2}\sin (\theta +\phi )=17\sin (\theta +\phi )$$ (단, $\phi$는 $\cos \phi =\frac{8}{17},\sin \phi =\frac{15}{17}$인 각)이다.
❷ 따라서 $f(\theta )=17\sin (\theta +\phi )-2$이고, $\sin (\theta +\phi )$의 값의 범위가 $[-1,1]$이므로 최댓값 $M=17-2=15$, 최솟값 $m=-17-2=-19$이다.
❸ 따라서 $M^2+m^2=(15{)}^2+(-19{)}^2=586$이다.

[핵심 개념] 삼각함수의 합성 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$, $2\sin x\cos x=\sin 2x$이므로 $y=(1-\cos 2x)+\sin 2x+1=2+(\sin 2x-\cos 2x)$.
❷ $\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$이므로 $y=2+\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$.
❸ 최댓값은 $\sin (\cdot )=1$일 때이므로 $2+\sqrt{2}$.
[오답 확인]
① 1+√2: 상수항을 2가 아닌 1로 잘못 처리한 경우.
② 2-√2: 최댓값이 아닌 최솟값을 구한 경우(부호 오류).
④ 3+√2: 상수항을 3으로 잘못 계산한 경우.
⑤ 4: 합성을 하지 않고 진폭을 어림잡은 경우.
[핵심 개념] 반각·이배각공식을 이용해 ${\sin }^{2}x,\sin x\cos x$를 $2x$에 대한 식으로 변형 후 합성.
[검증] $x=3\pi /8$을 대입하면 $y$가 약 3.414213(=2+√2)으로 수치적으로 일치함을 확인.