고등 수학 미분을 이용한 최대최소의 실생활 활용 예상문제

🔴 정답: 200
📌 초정밀 풀이
❶ 이윤 함수 $P(x)=-4x^2+80x-200$을 $x$에 대해 미분하면 $P^{\prime }(x)=-8x+80$
❷ $P^{\prime }(x)=0$을 풀면 $-8x+80=0\Rightarrow x=10$
❸ $P^{\prime \prime }(x)=-8<0$이므로 $x=10$에서 $P(x)$는 극대이면서 최댓값을 갖는다.
❹ 최대 이윤은 $P(10)=-4\times 100+80\times 10-200=-400+800-200=200$ (만 원)
[오답 확인] 계산 도중 $-4x^2$의 부호를 놓치거나 $80x$항을 잘못 대입하면 220, 180 등 유사한 오답이 나올 수 있으나, 정확한 대입 결과는 200이다.
[핵심 개념] 이차함수(이윤함수)의 최댓값을 미분을 이용해 구하는 문제로, 이차함수이므로 완전제곱식(꼭짓점)으로도 검산할 수 있다: $P(x)=-4(x-10{)}^2+200$.

[오답 해설]
- 선택지 1 (400): 최댓값을 계산할 때 상수항 $-200$을 빠뜨려 $P(10)=-400+800=400$으로 계산.
- 선택지 2 (560): $-4\times 100$을 계산할 때 자릿수를 빠뜨려 $-40$으로 오산하여 $-40+800-200=560$으로 계산.
- 선택지 3 (-200): 극점 $x$좌표를 구할 때 $x=-\frac{b}{2a}$의 분모 $2$를 빠뜨리고 $x=-\frac{80}{-4}=20$으로 잘못 계산하여 $P(20)=-1600+1600-200=-200$을 답으로 착각.
- 선택지 5 (100): 극점 $x$좌표를 계산할 때 부호나 계수를 잘못 적용해 $x=5$로 오산하여 $P(5)=-100+400-200=100$으로 계산.

[핵심개념] 미분을 이용한 최대·최소의 실생활 활용 - 부피가 일정한 도형에서 표면적(겉넓이)을 최소로 하는 치수를 도함수를 이용해 구하는 방법

[문제파악] 부피가 54π cm³로 일정한 원기둥 모양 캔의 겉넓이를 최소로 하는 밑면의 반지름 r의 값을 구하는 문제이다.

[변수 설정] 밑면의 반지름을 r, 높이를 h라 하면 부피 V=πr²h=54π이므로 h=54/r²이다.

[겉넓이 함수 세우기] 겉넓이 S(원기둥의 옆면 2πrh + 두 밑면의 넓이 2πr²)는 S(r)=2πr²+2πrh=2πr²+2πr·(54/r²)=2πr²+108π/r이다.

[도함수 계산] S'(r)=4πr-108π/r²이다.

[임계점 계산] S'(r)=0으로 놓으면 4πr=108π/r² → 4r³=108 → r³=27 → r=3(r>0이므로 양의 실근만 취함)이다.

[극소 판정] S''(r)=4π+216π/r³이므로 S''(3)=4π+216π/27=4π+8π=12π>0이다. 이차도함수가 양수이므로 r=3에서 S(r)은 극소이자 최소이다. (직접 계산으로 S(r)을 r에 대해 미분하여 임계점 r=3을 구하고, 이계도함수가 양수임을 재확인하여 최솟값임을 검증함.)

[검산] r=3일 때 h=54/9=6이고, 겉넓이는 S(3)=2π(9)+108π/3=18π+36π=54π로 계산되며, 이는 직접 대입 계산한 값과 일치한다.

[오답배제] ①2, ③4, ④5, ⑤6: 도함수를 세우는 과정에서 계수(πr² 또는 108π/r) 처리를 잘못하거나, S'(r)=0을 풀 때 세제곱근 계산(r³=27→r=3)에서 실수하여 나올 수 있는 값들이다.

🔴 정답: 2번
📌 초정밀 풀이
❶ 상자의 밑면의 한 변의 길이는 $18-2x$, 높이는 $x$이므로 부피는 $V(x)=x(18-2x{)}^2$ ($0<x<9$)
❷ $V(x)=x(18-2x{)}^2$를 미분하면 곱의 미분법에 의해 $$V^{\prime }(x)=(18-2x{)}^2+x\times 2(18-2x)\times (-2)=(18-2x)\{(18-2x)-4x\}=(18-2x)(18-6x)$$
❸ $V^{\prime }(x)=0$을 풀면 $18-2x=0$ 또는 $18-6x=0$, 즉 $x=9$ 또는 $x=3$. 정의역 $0<x<9$에 의해 $x=9$는 제외되므로 $x=3$
❹ $x=3$의 좌우에서 $V^{\prime }(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $x=3$에서 극대이며 이는 구간 내 유일한 임계점이므로 최댓값이다.
❺ 최댓값 $V(3)=3\times (18-6{)}^2=3\times 144=432$ (참고), 이때 $x=3$
[오답 확인] 2, 4: $V^{\prime }(x)$를 인수분해하지 않고 전개식 $V^{\prime }(x)=12x^2-144x+324$에서 근의 공식을 계산하는 과정에서 부호나 항을 실수하면 나올 수 있는 오답. 5, 6: $x=9$(경계값, 제외되어야 함)에 가까운 값을 잘못 답으로 고른 경우.
[핵심 개념] 곱의 미분법을 이용하여 삼차함수의 도함수를 구하고, 정의역을 고려하여 최댓값을 판정하는 문제.

[핵심개념] 미분을 이용한 최대·최소의 실생활 활용 - 정사각형 종이의 귀퉁이를 잘라 만든 상자의 부피를 자른 길이 x에 대한 함수로 나타낸 뒤 도함수로 최댓값을 구하는 방법

[문제파악] 한 변의 길이가 20인 정사각형에서 네 귀퉁이의 정사각형(한 변 x)을 잘라내고 접어 만든 뚜껑 없는 상자의 부피가 최대일 때, 상자 밑면의 한 변의 길이를 구하는 문제이다.

[부피 함수 세우기] 상자의 밑면은 한 변의 길이가 20-2x인 정사각형이고, 높이는 x이므로 부피는 V(x)=x(20-2x)²이다.

[도함수 계산] V(x)=x(20-2x)²를 전개하면 V(x)=x(400-80x+4x²)=4x³-80x²+400x이므로 V'(x)=12x²-160x+400이다. 인수분해를 이용하면 V'(x)=(20-2x)(20-6x)×(공통인수 정리) 형태로도 확인되며, 직접 전개식으로 V'(x)=4(3x²-40x+100)=4(3x-10)(x-10)이다.

[임계점 계산] V'(x)=0으로 놓으면 (3x-10)(x-10)=0이므로 x=10/3 또는 x=10이다. 0<x<10 범위에서 x=10은 정의역 경계이므로 제외하고 x=10/3만 유효한 임계점이다.

[극대 판정] x=10/3 좌우에서 V'(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌므로(V''(x)=24x-160, V''(10/3)=80-160=-80<0) x=10/3에서 V(x)는 극대이자 최대이다. (직접 계산으로 V(x)=x(20-2x)²을 미분하여 임계점 x=10/3, x=10을 구하고, 이계도함수가 x=10/3에서 음수임을 재확인하여 최댓값 지점임을 검증함.)

[밑면 한 변의 길이 계산] x=10/3일 때 밑면의 한 변의 길이는 20-2x=20-20/3=40/3이다.

[검산] 이때 부피는 V(10/3)=(10/3)×(40/3)²=(10/3)×(1600/9)=16000/27로 계산되며, 직접 대입한 값과 일치한다.

[오답배제] ①10/3: 잘라낸 정사각형의 한 변 x 자체를 밑면의 한 변으로 착각한 값이다. ②20/3, ④50/3: 부피 함수를 전개하거나 미분하는 과정에서 계수를 잘못 처리했을 때 나올 수 있는 값이다. ⑤15: 정의역이나 임계점 계산을 잘못하여 나올 수 있는 값이다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 화단의 가로의 길이를 $x$ m라 하면 둘레가 80 m이므로 세로의 길이는 $\frac{80-2x}{2}=40-x$ (m)이다. (단, $0<x<40$)
❷ 넓이를 $A(x)$라 하면 $A(x)=x(40-x)=-x^2+40x$
❸ $A^{\prime }(x)=-2x+40$이고 $A^{\prime }(x)=0$을 풀면 $x=20$
❹ $A^{\prime \prime }(x)=-2<0$이므로 $x=20$에서 $A(x)$는 극대이면서 최댓값을 갖는다. (구간 양 끝에서 $A\to 0$이므로 이 극대값이 전체 최댓값이다.)
❺ 최댓값은 $A(20)=20\times (40-20)=20\times 20=400$
[오답 확인] 350, 380: 도함수 계산 과정에서 $x$값을 20이 아닌 근처의 값으로 잘못 대입한 경우 나오는 오답. 420, 450: 넓이 공식을 $x(40-2x)$처럼 세로의 길이를 잘못 세워 계산했을 때 나올 수 있는 오답.
[핵심 개념] 제약조건(둘레 일정)이 있는 이차식의 최댓값을 미분을 이용해 구하는 전형적인 실생활 최적화 문제. 이차함수이므로 꼭짓점 공식으로도 검산 가능하다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 물체가 최고 높이에 도달하는 순간은 속도, 즉 $h(t)$의 도함수 값이 0이 되는 시각이다.
❷ $h^{\prime }(t)=-10t+40$
❸ $h^{\prime }(t)=0$을 풀면 $-10t+40=0\Rightarrow t=4$
❹ $t=4$의 좌우에서 $h^{\prime }(t)$의 부호가 양(상승)에서 음(하강)으로 바뀌므로 $t=4$에서 $h(t)$는 최댓값을 갖는다.
❺ 따라서 물체가 최고 높이에 도달하는 시각은 $t=4$ (참고로 이때 최고 높이는 $h(4)=-80+160+2=82$ m)
[오답 확인] 2, 3: $h^{\prime }(t)=0$을 풀 때 계수를 잘못 나누어(예: $-10t+40=0$을 $t=2$로 계산) 생기는 오답. 5, 6: 초기 속도 40을 계수 -5로 나누는 등 공식을 혼동한 경우 나올 수 있는 오답.
[핵심 개념] 실생활(운동)에서 위치함수의 도함수(속도)가 0이 되는 순간이 최고점(최댓값)이 됨을 이용하는 문제.

[개념] 실생활 최적화 문제는 (1) 구하려는 양을 하나의 변수에 대한 함수로 나타내고, (2) 도함수를 이용해 극값을 구하고, (3) 정의역의 범위 안에서 그 극값이 실제로 최댓값인지 확인하는 순서로 해결한다.

[1단계: 부피를 x에 대한 함수로 나타내기] 정사각형 판지의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 x인 정사각형을 잘라내고 접으면, 상자의 밑면은 한 변의 길이가 (12-2x)인 정사각형이 되고 높이는 x가 된다. 따라서 부피 V(x) = x(12-2x)², 정의역은 0<x<6이다. (x가 6 이상이면 밑변의 길이가 0 이하가 되어 상자를 만들 수 없다.)

[2단계: 도함수 구하기] V(x) = x(12-2x)²를 곱의 미분법으로 미분한다. V'(x) = (12-2x)² + x·2(12-2x)·(-2) = (12-2x)² - 4x(12-2x)이다. 공통인수 (12-2x)로 묶으면 V'(x) = (12-2x)[(12-2x) - 4x] = (12-2x)(12-6x)이다.

[3단계: 극값 후보 구하기] V'(x)=0이 되는 x는 12-2x=0(x=6, 정의역의 끝점이므로 제외) 또는 12-6x=0(x=2)이다. 정의역 0<x<6 안에 있는 극값 후보는 x=2뿐이다.

[4단계: 극댓값인지 확인] V'(x) = (12-2x)(12-6x)의 부호를 조사하면, 0<x<2일 때 12-2x>0이고 12-6x>0이므로 V'(x)>0(증가), 2<x<6일 때 12-2x>0이고 12-6x<0이므로 V'(x)<0(감소)이다. 따라서 x=2에서 V(x)는 증가에서 감소로 바뀌므로 극댓값을 가지며, 정의역 내에 다른 극값이 없으므로 이 극댓값이 곧 최댓값이다.

[5단계: 최댓값 계산(참고)] V(2) = 2×(12-4)² = 2×64 = 128이다.

[오답 분석] ①1, ③3, ④4는 도함수를 잘못 전개하거나 인수분해를 잘못하여 나올 수 있는 근사값이다. ⑤6은 V'(x)=0의 두 근 중 정의역에서 제외해야 할 끝값(x=6)을 답으로 착각한 경우로, 실제로 x=6이면 부피가 0이 되어 최댓값이 될 수 없다.

[검산] 직접 계산으로 V(x)=x(12-2x)²를 미분하여 임계점이 x=2, 6임을 구하고, 정의역 0<x<6 안의 유효한 임계점 x=2에서 이계도함수 V''(2)=-48<0임을 확인하여 극댓값(최댓값)임을 검증하였다.

[핵심 개념] 미분을 이용한 실생활 최적화 문제 - 제약 조건(겉넓이 일정)이 있을 때 목적 함수(부피)를 한 변수로 나타내고 도함수를 이용해 극값을 구하는 방법

[문제 상황] 밑면이 한 변의 길이가 x인 정사각형이고 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만드는데, 사용할 재료의 겉넓이(밑면+옆면 4개)가 48로 일정하다고 할 때, 상자의 부피가 최대가 되도록 하는 x의 값을 구하는 문제이다.

[변수 설정 및 제약 조건] 상자의 높이를 h라 하면, 뚜껑이 없으므로 겉넓이 S=(밑면의 넓이)+(옆면 4개의 넓이)=x²+4xh=48이다. 이 식을 h에 대해 정리하면 h=(48-x²)/(4x) (단, 0<x<√48)이다.

[목적 함수(부피) 세우기] 부피 V=x²h=x²×(48-x²)/(4x)=x(48-x²)/4=(48x-x³)/4이다.

[도함수를 이용한 극값 계산] V를 x에 대해 미분하면 V'=(48-3x²)/4이다. 극값을 구하기 위해 V'=0으로 놓으면 48-3x²=0 → x²=16 → x=4 (x>0이므로 음수해는 버림).

[극값의 종류 판정] V''=-6x/4=-3x/2이며, x=4일 때 V''=-6<0이므로 x=4에서 V는 극대(이 구간에서 최대)이다. 따라서 x=4일 때 부피가 최대가 된다. (직접 계산으로 V'(x), V''(4)를 직접 계산하여 임계점 x=4, V''(4)=-6<0임을 확인함. 이때 최대 부피는 V(4)=32이다.)

[오답 선택지 배제] ①(x=2), ②(x=3), ④(x=5), ⑤(x=6)은 모두 V'(x)=48-3x²=0의 해가 아니며, V'(x)의 부호를 보면 x가 4보다 작을 때 V'>0(증가), 4보다 클 때 V'<0(감소)이므로 x=4에서만 극대(최대)가 됨을 알 수 있다. 도함수를 구하지 않고 임의의 값을 대입해 어림짐작하면 이런 오답에 빠지기 쉬우므로, 반드시 도함수를 0으로 만드는 x값을 정확히 계산해야 한다.