고등 수학 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 예상문제

🔴 정답: 1번

📌 초정밀 풀이
❶ $x=t^2$을 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dx}{dt}=2t$이다.
❷ $y=4t$를 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dy}{dt}=4$이다.
❸ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{4}{2t}=\frac{2}{t}$$이다.
❹ $t=2$를 대입하면 $\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2}=1$이다.

[오답 확인]
② $2$: $\frac{dx}{dt}$를 $2t$가 아니라 $t$로 잘못 미분($t=2$)하여 $\frac{4}{2}=2$로 계산한 경우이다.
③ $4$: $\frac{dy}{dt}=4$ 값만 구하고 $\frac{dx}{dt}$로 나누는 것을 빠뜨린 경우이다.
④ $\frac{1}{2}$: $\frac{dx/dt}{dy/dt}$처럼 분자와 분모를 뒤바꿔 계산한 경우이다.
⑤ $8$: $t=2$를 $y=4t$에 대입한 함숫값 $y(2)=8$을 도함수 값과 혼동한 경우이다.

[핵심 개념]
매개변수로 나타낸 함수의 미분법: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$. $t=2$에서 $\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=4$로 두 값이 우연히 같아지는 경우이다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ $x=t^2+1$의 양변을 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dx}{dt}=2t$이다.
❷ $y=t^3-3t$의 양변을 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dy}{dt}=3t^2-3$이다.
❸ 매개변수로 나타낸 함수의 미분법에 의해 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^2-3}{2t}$이다.
❹ $t=2$를 대입하면 $\frac{dx}{dt}=4,\frac{dy}{dt}=3\cdot 4-3=9$이므로 $\frac{dy}{dx}=\frac{9}{4}$이다.

[오답 확인]
① $\frac{4}{9}$: $\frac{dx}{dt}$와 $\frac{dy}{dt}$를 뒤바꿔 $\frac{dx/dt}{dy/dt}$를 계산한 경우이다.
③ $\frac{9}{2}$: $\frac{dx}{dt}=2t$에서 $t=2$를 대입하지 않고 $\frac{dx}{dt}=2$로 잘못 계산한 경우이다.
④ $\frac{15}{4}$: $\frac{dy}{dt}=3t^2+3$으로 부호를 잘못 미분한 경우이다($t=2$에서 $15$).
⑤ $9$: $\frac{dy}{dt}$ 값만 구하고 $\frac{dx}{dt}$로 나누는 것을 빠뜨린 경우이다.

[핵심 개념]
매개변수로 나타낸 함수 $x=f(t),y=g(t)$에서 $\frac{dx}{dt}\ne 0$일 때, $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}$이다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $x=3t-1$을 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dx}{dt}=3$이다.
❷ $y=t^2+2t$를 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dy}{dt}=2t+2$이다.
❸ $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t+2}{3}$이다.
❹ $t=1$을 대입하면 $\frac{dy}{dt}=2(1)+2=4$이므로 $\frac{dy}{dx}=\frac{4}{3}$이다.

[오답 확인]
① $\frac{3}{4}$: $\frac{dx}{dt}$와 $\frac{dy}{dt}$를 뒤바꿔 계산한 경우이다.
② $2$: $\frac{dy}{dt}=2t+2$에서 상수항 $2$를 빠뜨리고 $2t=2$만 취한 뒤 $\frac{dx}{dt}$로 나누지 않은 경우이다.
④ $\frac{5}{3}$: $\frac{dy}{dt}$를 $2t+3$으로 잘못 미분한 경우이다.
⑤ $4$: $\frac{dy}{dt}$ 값만 구하고 $\frac{dx}{dt}=3$으로 나누는 것을 빠뜨린 경우이다.

[핵심 개념]
매개변수로 나타낸 함수의 미분법: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ ($x$가 $t$의 일차식이면 $\frac{dx}{dt}$는 상수가 된다).

[핵심개념] 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 - x, y가 각각 매개변수 t에 대한 함수로 주어질 때 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) 공식을 이용해 미분하는 방법

[문제파악] x=t²-1, y=t³-3t로 매개변수 표시된 함수에서 t=2일 때 dy/dx의 값을 구하는 문제이다.

[dx/dt 계산] x=t²-1이므로 dx/dt=2t이다.

[dy/dt 계산] y=t³-3t이므로 dy/dt=3t²-3이다.

[dy/dx 공식 적용] dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(3t²-3)/(2t)이다.

[t=2 대입] dx/dt=2(2)=4, dy/dt=3(2)²-3=12-3=9이므로, dy/dx=9/4이다. (직접 계산으로 dx/dt, dy/dt를 각각 구한 뒤 t=2를 대입하여 dy/dx=9/4임을 재확인함.)

[검산] t=2일 때 dx/dt=4≠0이므로 t=2 근방에서 x가 t에 대해 국소적으로 증가하고 있어 dy/dx가 잘 정의됨을 확인할 수 있으며, 이는 (dy/dt)/(dx/dt) 공식을 적용하기 위한 전제 조건(dx/dt≠0)이 성립함을 보여준다.

[오답배제] ①3/4, ②3/2, ④3, ⑤9/2: dy/dt 또는 dx/dt를 구하는 과정에서 계수나 지수를 잘못 처리하거나, t=2 대입 과정에서 계산 실수를 했을 때 나올 수 있는 값들이다.

[핵심개념] 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 - x, y가 각각 매개변수 t에 대한 함수로 주어질 때 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) 공식을 이용해 미분하는 방법

[문제파악] x=t³-3t, y=t²+2t로 매개변수 표시된 함수에서 t=2일 때 dy/dx의 값을 구하는 문제이다.

[dx/dt 계산] x=t³-3t이므로 dx/dt=3t²-3이다.

[dy/dt 계산] y=t²+2t이므로 dy/dt=2t+2이다.

[dy/dx 공식 적용] dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(2t+2)/(3t²-3)이다.

[t=2 대입] dx/dt=3(2)²-3=12-3=9, dy/dt=2(2)+2=6이므로, dy/dx=6/9=2/3이다. (직접 계산으로 dx/dt, dy/dt를 각각 구한 뒤 t=2를 대입하여 dy/dx=2/3임을 재확인함.)

[검산] t=2일 때 dx/dt=9≠0이므로 t=2 근방에서 x가 t에 대해 국소적으로 증가하고 있어 dy/dx가 잘 정의됨을 확인할 수 있으며, 이는 (dy/dt)/(dx/dt) 공식을 적용하기 위한 전제 조건(dx/dt≠0)이 성립함을 보여준다.

[오답 해설]
- 선지1 (3/2): dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) 공식에서 분자와 분모를 뒤바꿔 (dx/dt)/(dy/dt)=9/6=3/2로 계산한 오류이다.
- 선지2 (1/2): dx/dt=3t²-3 계산에서 상수항 -3을 빠뜨려 dx/dt=3t²로 잘못 구해(t=2에서 12) dy/dx=6/12=1/2로 계산한 오류이다.
- 선지3 (4/9): dy/dt=2t+2 계산에서 상수항 +2를 빠뜨려 dy/dt=2t로 잘못 구해(t=2에서 4) dy/dx=4/9로 계산한 오류이다.
- 선지5 (2/5): dx/dt=3t²-3 계산에서 부호를 반대로 적용하여 dx/dt=3t²+3으로 잘못 구해(t=2에서 15) dy/dx=6/15=2/5로 계산한 오류이다.

[핵심 개념] 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 - x=f(t), y=g(t)로 주어질 때 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) (단, dx/dt≠0)를 이용하는 방법

[문제 파악] x=t²-4t, y=t³-3t²로 매개변수 표현된 함수에서, t=3일 때의 dy/dx 값을 구하는 문제이다.

[dx/dt 계산] x=t²-4t를 t에 대해 미분하면 dx/dt=2t-4이다. t=3을 대입하면 dx/dt=2(3)-4=6-4=2이다.

[dy/dt 계산] y=t³-3t²를 t에 대해 미분하면 dy/dt=3t²-6t이다. t=3을 대입하면 dy/dt=3(3)²-6(3)=27-18=9이다.

[dy/dx 계산] 매개변수 미분법 공식에 의해 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=9/2이다(단, t=3에서 dx/dt=2≠0이므로 공식 적용에 문제가 없다). (직접 계산으로 dx/dt, dy/dt를 각각 구한 뒤 t=3을 대입하여 9/2임을 재확인함.)

[오답 선택지 배제]
① 2/9: dy/dx를 구할 때 분자와 분모를 반대로 적용하여 dx/dt를 분자에, dy/dt를 분모에 놓는 전형적인 실수(역수 오류)에서 나오는 값이다. dy/dx는 반드시 (dy/dt)/(dx/dt) 순서로 계산해야 함을 기억해야 한다.
②④⑤ (7/2, 11/2, 9): dy/dt 또는 dx/dt를 계산하는 과정에서 계수나 부호를 잘못 적용하는 등의 계산 실수에서 나올 수 있는 근사한 값들이다. 매개변수 미분에서는 각 도함수를 독립적으로 정확히 계산한 뒤 나누는 것이 중요하다.

[개념] 매개변수로 나타낸 함수의 미분법에서는 dy/dx를 직접 구하지 않고, dy/dt와 dx/dt를 각각 구한 뒤 dy/dx = (dy/dt)÷(dx/dt)의 관계를 이용한다.

[1단계: dx/dt 구하기] x=t²+1을 t에 대해 미분하면 dx/dt = 2t이다.

[2단계: dy/dt 구하기] y=t³-3t를 t에 대해 미분하면 dy/dt = 3t²-3이다.

[3단계: dy/dx 공식 적용] dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3t²-3)/(2t)이다.

[4단계: t=2 대입] 분자: 3(2)²-3 = 12-3 = 9. 분모: 2(2) = 4. 따라서 dy/dx = 9/4이다.

[오답 분석] ①4/9는 dy/dx를 dx/dy로 거꾸로 계산한 경우(분자 분모를 바꿔 씀)이다. ③15/4는 dy/dt를 3t²+3으로 부호를 잘못 계산하여 (12+3)/4=15/4가 된 경우이다. ④9/2는 분모 2t에 t=2를 대입하지 않고 상수 2로 나눈 경우(9/2가 아니라 9/4가 되어야 함)에서 비롯된다. ⑤9는 dy/dt=9만 구하고 dx/dt로 나누는 것을 잊은 경우이다.

[검산] 직접 계산으로 x(t)=t²+1, y(t)=t³-3t를 각각 t로 미분한 뒤 (dy/dt)/(dx/dt)를 계산하고 t=2를 대입한 결과가 정확히 9/4임을 확인하였다.

[정답 확인]
최종 답은 \frac{9}{4}이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $x=\cos t$를 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dx}{dt}=-\sin t$이다.
❷ $y=\sin t$를 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dy}{dt}=\cos t$이다.
❸ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{1}{\tan t}$$이다.
❹ $t=\frac{\pi }{6}$에서 $$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$이므로 $\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}$이다.

[오답 확인]
① $-\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\frac{dy}{dx}=-\tan t$로 착각하여 $-\tan \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$을 계산한 경우이다.
② $\sqrt{3}$: 부호를 빠뜨린 경우이다.
④ $\frac{\sqrt{3}}{3}$: 부호와 공식을 모두 잘못 적용한 경우이다.
⑤ $-1$: $\frac{dy}{dx}=\frac{dx/dt}{dy/dt}$로 분자·분모를 뒤바꾸고 값도 근사한 경우이다.

[핵심 개념]
단위원 $x=\cos t,y=\sin t$에서 $\frac{dy}{dx}=-\cot t$이다. 이는 원 위의 점 $(\cos t,\sin t)$에서의 접선의 기울기를 매개변수 미분으로 구하는 대표적 유형이다.