고등 수학 조건부확률 심화 예상문제

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ 사건 $B$: '안경을 쓴 학생'을 뽑는 사건, 사건 $A$: '남학생'을 뽑는 사건이라 하자.
❷ 안경을 쓴 학생 수는 $11+9=20$(명)이므로 $n(B)=20$이다.
❸ 안경을 쓴 남학생 수는 $11$명이므로 $n(A\cap B)=11$이다.
❹ 따라서 $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{11}{20}$이다.

[오답 확인]
① 9/20: 여학생일 확률(안경 쓴 여학생 9명 기준)과 혼동한 오답이다.
② 11/40, ④ 9/40: 분모를 안경 쓴 학생 수(20)가 아닌 전체 학생 수(40)로 잘못 사용한 오답이다.
⑤ 1/2: 조건을 무시하고 남녀 비율을 단순 추측한 오답이다.

[핵심 개념]
조건부확률을 표(분할표)로 해석할 때는 분모를 조건에 해당하는 부분집합의 크기로, 분자를 조건과 사건이 동시에 일어나는 부분집합의 크기로 잡아야 한다.

[검증] 11/20은 기약분수이며 소수로 환산하면 0.55로, 20명 중 11명이라는 비율과 일치한다.

🔴 정답: 11 ($a=7,b=4$)

📌 초정밀 풀이
❶ 첫 번째로 빨간 공을 꺼냈다는 조건이 주어졌으므로, 두 번째 시행 직전 주머니 속 공의 개수를 다시 센다.
❷ 처음 빨간 공 5개, 파란 공 3개(총 8개)에서 빨간 공 1개를 꺼내 넣지 않았으므로 남은 공은 빨간 공 4개, 파란 공 3개로 총 7개이다.
❸ 따라서 두 번째로 빨간 공을 꺼낼 확률은 $\frac{4}{7}$이다.
❹ 기약분수 $\frac{4}{7}$에서 $a=7,b=4$이므로 $a+b=11$이다.

[핵심 개념]
비복원추출에서 조건부확률은 조건이 실현된 이후의 축소된 표본공간(남은 공의 개수)을 기준으로 다시 계산한다.

[검증] 4/7은 기약분수이며 최대공약수 $\gcd (4,7)=1$이므로 $a+b=7+4=11$이 정확하다.

[오답 해설]
- 1번(13): 첫 번째 공을 다시 넣은 것으로 착각(복원추출로 오인)하여 5/8로 계산하면 a+b=13이 나온다.
- 2번(12): 전체 개수만 7개로 줄이고 빨간 공 개수는 그대로 5개로 두면 5/7이 되어 a+b=12가 나온다.
- 3번(10): 구하는 대상을 파란 공이 나올 확률로 착각해 3/7을 답으로 하면 a+b=10이 나온다.
- 5번(5): 공이 이미 2개 빠졌다고 착각해 4/6=2/3으로 계산하면 a+b=5가 나온다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 사건 $B$('$a=3$')가 일어나는 경우는 $b$가 $1,2,3,4,5,6$인 6가지이다.
❷ 이 중 $a+b=8$을 만족하는 경우는 $a=3,b=5$인 경우 1가지뿐이다.
❸ 조건부확률의 정의(고전적 확률)에 의해 $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{1}{6}$이다.

[오답 확인]
① 1/9: $B$의 조건을 무시하고 전체 36가지 중 특정 두 쌍이 나올 확률과 혼동한 값이다.
③,④,⑤ 1/5, 1/4, 1/3: $B$가 일어나는 6가지 경우를 잘못 세거나(5가지, 4가지, 3가지로 착각) 계산한 오답이다.

[핵심 개념]
표본공간이 축소된 상황에서의 고전적 확률에 의한 조건부확률: $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$.

[검증] $a=3$으로 고정한 6가지 $(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)$ 중 합이 8인 것은 $(3,5)$ 하나뿐이므로 $1/6$이 맞다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ 조건부확률의 정의에 의해 $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$이다.
❷ 주어진 값을 대입하면 $$P(A|B)=\frac{3/20}{2/5}=\frac{3}{20}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$$이다.
❸ 따라서 $P(A|B)=\frac{3}{8}$이다.

[오답 확인]
① 3/20: $P(A\cap B)$의 값 자체를 답으로 착각한 경우이다.
② 3/10: $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{3/20}{1/2}=\frac{3}{10}$$으로, 조건을 바꿔 계산한 오답이다.
④ 1/2: $P(A)$ 값을 그대로 쓴 오답이다.
⑤ 4/5: $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$를 나누는 등 무관한 연산을 한 오답이다.

[핵심 개념]
조건부확률 $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$의 정의를 정확히 적용해야 하며, $P(A|B)$와 $P(B|A)$를 혼동하지 않아야 한다.


[정답 확인]
최종 답은 3/8이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

🔴 정답 ③ $\frac{12}{23}$

📌 초정밀 풀이
❶ 조건부확률의 정의 $P(X\mid Y)=\frac{n(X\cap Y)}{n(Y)}$를 적용한다.
❷ $$P(B\mid A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{12}{23}=\frac{12}{23}$$이다.

[핵심 개념] 조건부확률(분할표를 이용한 계산)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{12}{23}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $\frac{8}{11}$

📌 초정밀 풀이
❶ 조건부확률의 정의 $P(X\mid Y)=\frac{n(X\cap Y)}{n(Y)}$를 적용한다.
❷ $$P(A\mid B^c)=\frac{n(A\cap B^c)}{n(B^c)}=\frac{16}{22}=\frac{8}{11}$$이다.

[핵심 개념] 조건부확률(분할표를 이용한 계산)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{8}{11}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ② $\frac{11}{24}$

📌 초정밀 풀이
❶ 조건부확률의 정의 $P(X\mid Y)=\frac{n(X\cap Y)}{n(Y)}$를 적용한다.
❷ $$P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{11}{24}=\frac{11}{24}$$이다.

[핵심 개념] 조건부확률(분할표를 이용한 계산)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{11}{24}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $\frac{19}{37}$

📌 초정밀 풀이
❶ 조건부확률의 정의 $P(X\mid Y)=\frac{n(X\cap Y)}{n(Y)}$를 적용한다.
❷ $$P(B\mid A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{19}{37}=\frac{19}{37}$$이다.

[핵심 개념] 조건부확률(분할표를 이용한 계산)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{19}{37}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.