고등 수학 조건부확률과 사건의 독립 예상문제

🔴 정답 ⑤ $\frac{2}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 무엇을 구하는가: 앞면이 정확히 두 번 나온다는 조건 아래에서, 첫 번째 시행이 앞면일 확률 $P(A|B)$이다.
❷ 개념: $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$. 동전을 세 번 던지는 표본공간은 $2^3=8$가지이다.
❸ 계산: 앞면(H)이 정확히 두 번 나오는 경우는 $HHT,HTH,THH$로 3가지이다($n(B)=3$). 이 중 첫 번째가 앞면인 경우는 $HHT,HTH$로 2가지이다($n(A\cap B)=2$).
❹ 해석: 따라서 $P(A|B)=\frac{2}{3}$이다.

[오답 확인]
① $\frac{1}{2}$: 조건 없이 첫 번째 시행이 앞면일 확률 $P(A)=\frac{1}{2}$을 그대로 답한 오류.
② $\frac{1}{4}$: $P(A\cap B)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$을 조건부확률로 착각하여 $n(B)$로 나누지 않은 오류.
③ $\frac{1}{3}$: $n(A\cap B)$를 1로 잘못 센 오류(THH만 세는 등).
④ $\frac{3}{4}$: $n(B)=4$로 잘못 세거나 분모·분자 계산을 혼동한 오류.

[핵심 개념] 조건부확률의 정의, 동전 던지기의 표본공간

🔴 정답 ④ $\frac{5}{8}$

📌 초정밀 풀이
❶ 무엇을 구하는가: 사건 $M$="남학생", 사건 $F$="찬성"이라 하면, 구하는 값은 $P(F|M)$이다.
❷ 개념: $P(F|M)=\frac{n(M\cap F)}{n(M)}$이며, 표본공간을 전체 200명이 아니라 조건에 해당하는 남학생 80명으로 국한해서 생각해야 한다.
❸ 계산: 남학생은 80명이고 이 중 찬성은 50명이므로 $P(F|M)=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}$이다.
❹ 해석: 조건부확률에서는 "전체 200명 중 찬성 비율"이 아니라 "남학생 80명 중 찬성 비율"을 구해야 한다.

[오답 확인]
① $\frac{1}{4}$: 조건(남학생)을 무시하고 $\frac{50}{200}$을 계산한 오류.
② $\frac{5}{14}$: 분모를 남학생 수(80)가 아니라 전체 찬성자 수(140)로 잘못 사용한 오류.
③ $\frac{3}{8}$: 찬성이 아닌 반대 비율 $\frac{30}{80}$을 구한 오류.
⑤ $\frac{9}{20}$: 여학생의 찬성 비율 $\frac{90}{200}$을 남학생 값으로 착각한 오류.

[핵심 개념] 조건부확률의 정의, 분할표(2×2 표)에서의 조건부확률

🔴 정답 ③ $\frac{5}{7}$

📌 초정밀 풀이
❶ 무엇을 구하는가: 사건 $A$="첫 번째 공이 빨간 공", 사건 $B$="두 번째 공이 파란 공"이라 하면, 구하는 값은 $P(B|A)$이다.
❷ 개념: 비복원추출에서 첫 번째로 빨간 공을 이미 꺼내 다시 넣지 않았으므로, 두 번째 시행 시 주머니에는 빨간 공 2개, 파란 공 5개, 총 7개가 남아 있다. 이는 조건부확률의 정의 $P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$를 표본공간이 줄어든 상황으로 직접 적용한 것과 같다.
❸ 계산: 남은 7개의 공 중 파란 공은 5개이므로 $P(B|A)=\frac{5}{7}$이다.
❹ 해석: 조건(첫 번째가 빨간 공)이 주어지면 표본공간 자체가 "남은 7개의 공"으로 줄어든다는 것이 핵심이다.

[오답 확인]
① $\frac{3}{8}$: 원래 8개 중 남은 빨간 공 2개를 파란 공 개수로 잘못 사용하거나 엉뚱한 값을 그대로 씀.
② $\frac{5}{8}$: 조건부확률을 무시하고 처음 상태(공 8개 중 파란 공 5개) 그대로 계산한 오류.
④ $\frac{4}{7}$: 첫 번째로 파란 공이 나갔다고 착각하여 남은 파란 공을 4개로 잘못 센 오류.
⑤ $\frac{3}{7}$: 두 번째 공이 빨간 공일 확률(여사건)을 구한 오류.

[핵심 개념] 조건부확률의 정의, 비복원추출에서의 표본공간 변화

🔴 정답 ② $\frac{1}{4}$

📌 초정밀 풀이
❶ 무엇을 구하는가: $B$="그림 카드(J, Q, K)"라는 조건 아래 $A$="하트"일 확률 $P(A|B)$이다.
❷ 개념: $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$
❸ 계산: 그림 카드는 J, Q, K가 각 무늬(♠♥♦♣)마다 1장씩 있어 총 $3\times 4=12$장이다($n(B)=12$). 이 중 하트 무늬의 그림 카드는 하트 J, 하트 Q, 하트 K로 $3$장이다($n(A\cap B)=3$).
❹ 해석: 따라서 $P(A|B)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$이다.

[오답 확인]
① $\frac{3}{13}$: 분모를 그림 카드 수(12)가 아니라 한 무늬의 전체 카드 수(13)로 잘못 사용한 오류.
③ $\frac{1}{13}$: 분자를 3이 아니라 1로 잘못 센 오류.
④ $\frac{1}{3}$: 분자·분모를 반대로($n(A)/n(A\cap B)$ 형태로) 계산한 오류.
⑤ $\frac{4}{13}$: 무늬가 4가지임을 엉뚱하게 분자에 대입한 오류.

[핵심 개념] 조건부확률의 정의, 조건에 따른 표본공간의 축소

🔴 정답 ① $\frac{5}{11}$

📌 초정밀 풀이
❶ 무엇을 구하는가: $B$="적어도 하나가 6" 조건 아래에서 $A$="합이 짝수"일 확률, 즉 $P(A|B)$이다.
❷ 개념: $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$
❸ 계산: 두 눈 $(a,b)$ 중 적어도 하나가 6인 경우는 $(6,1),(6,2),\dots ,(6,6),(1,6),(2,6),\dots ,(5,6)$으로 총 $11$가지($n(B)=11$)이다. 이 중 합이 짝수인 경우는 $(6,2),(6,4),(6,6),(2,6),(4,6)$으로 $5$가지이다($n(A\cap B)=5$).
❹ 해석: 따라서 $P(A|B)=\frac{5}{11}$이다.

[오답 확인]
② $\frac{1}{2}$: 조건 없이 전체 36가지 중 합이 짝수인 사건의 확률 $P(A)$를 그대로 답한 오류.
③ $\frac{5}{36}$: $n(A\cap B)$를 구했지만 이를 $n(B)$가 아닌 전체 경우의 수 36으로 나눈 오류(조건부확률과 곱사건 확률을 혼동).
④ $\frac{6}{11}$: $A\cap B$의 개수를 6개로 잘못 센 오류.
⑤ $\frac{5}{12}$: $n(B)$를 12로 잘못 센 오류(눈이 같은 $(6,6)$을 중복으로 세는 등).

[핵심 개념] 조건부확률의 정의, 표본공간의 원소 나열

🔴 정답 ② $\frac{22}{25}$

📌 초정밀 풀이
❶ 두 사건이 독립이므로 $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{21}{50}$이고, 덧셈정리에 의해 $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{7}{10}+\frac{3}{5}-\frac{21}{50}=\frac{22}{25}$$이다.

[핵심 개념] 사건의 독립($P(A\cap B)=P(A)P(B)$)과 조건부확률의 관계

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{22}{25}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $\frac{1}{4}$

📌 초정밀 풀이
❶ 두 사건이 독립이므로 $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$이다.

[핵심 개념] 사건의 독립($P(A\cap B)=P(A)P(B)$)과 조건부확률의 관계

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{1}{4}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $\frac{51}{100}$

📌 초정밀 풀이
❶ 두 사건이 독립이므로 $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{9}{100}$이고, 덧셈정리에 의해 $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}-\frac{9}{100}=\frac{51}{100}$$이다.

[핵심 개념] 사건의 독립($P(A\cap B)=P(A)P(B)$)과 조건부확률의 관계

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{51}{100}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.