고등 수학 수학적 귀납법을 이용한 증명 예상문제

🔴 정답 ① $k+3$

📌 초정밀 풀이
❶ $n=k$일 때 성립한다고 가정하면 $$\sum _{i=1}^k(i+2)=\frac{k\left(k+5\right)}{2}$$이다.
❷ $n=k+1$일 때는 좌변에 $i=k+1$항인 $(i+2){|}_{i=k+1}$이 추가된다.
❸ 일반항에 $i=k+1$을 대입하면 $(k+1)+2$이고, 정리하면 $k+3$이다.

[핵심 개념] 수학적 귀납법의 귀납 단계(n=k → n=k+1로 넘어갈 때 추가되는 항)

🔴 정답 ⑤ $\frac{k\left(3k-13\right)}{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ 닫힌형 등식의 우변은 $n$에 대한 식 $\frac{n\left(3n-13\right)}{2}$이다.
❷ 귀납적 가정은 이 등식에 $n=k$를 대입한 것이므로, 우변에 $n=k$를 대입한다: $$\frac{n\left(3n-13\right)}{2}{|}_{n=k}=\frac{k\left(3k-13\right)}{2}$$.
❸ 따라서 그 등식의 우변은 $\frac{k\left(3k-13\right)}{2}$이다.

[핵심 개념] 수학적 귀납법의 귀납적 가정(n=k 대입)

🔴 정답 ③ $k\left(3k+8\right)$

📌 초정밀 풀이
❶ 닫힌형 등식의 우변은 $n$에 대한 식 $n\left(3n+8\right)$이다.
❷ 귀납적 가정은 이 등식에 $n=k$를 대입한 것이므로, 우변에 $n=k$를 대입한다: $n\left(3n+8\right){|}_{n=k}=k\left(3k+8\right)$.
❸ 따라서 그 등식의 우변은 $k\left(3k+8\right)$이다.

[핵심 개념] 수학적 귀납법의 귀납적 가정(n=k 대입)

🔴 정답 ⑤ $k\left(k+7\right)$

📌 초정밀 풀이
❶ 닫힌형 등식의 우변은 $n$에 대한 식 $n\left(n+7\right)$이다.
❷ 귀납적 가정은 이 등식에 $n=k$를 대입한 것이므로, 우변에 $n=k$를 대입한다: $n\left(n+7\right){|}_{n=k}=k\left(k+7\right)$.
❸ 따라서 그 등식의 우변은 $k\left(k+7\right)$이다.

[핵심 개념] 수학적 귀납법의 귀납적 가정(n=k 대입)

🔴 정답 ① $5k+5$

📌 초정밀 풀이
❶ $n=k$일 때 성립한다고 가정하면 $$\sum _{i=1}^k(5i)=\frac{5k\left(k+1\right)}{2}$$이다.
❷ $n=k+1$일 때는 좌변에 $i=k+1$항인 $(5i){|}_{i=k+1}$이 추가된다.
❸ 일반항에 $i=k+1$을 대입하면 $5(k+1)$이고, 정리하면 $5k+5$이다.

[핵심 개념] 수학적 귀납법의 귀납 단계(n=k → n=k+1로 넘어갈 때 추가되는 항)

🔴 정답 ② $6k+4$

📌 초정밀 풀이
❶ $n=k$일 때 성립한다고 가정하면 $\sum _{i=1}^k(6i-2)=k\left(3k+1\right)$이다.
❷ $n=k+1$일 때는 좌변에 $i=k+1$항인 $(6i-2){|}_{i=k+1}$이 추가된다.
❸ 일반항에 $i=k+1$을 대입하면 $6(k+1)-2$이고, 정리하면 $6k+4$이다.

[핵심 개념] 수학적 귀납법의 귀납 단계(n=k → n=k+1로 넘어갈 때 추가되는 항)

🔴 정답 ③ $5k-3$

📌 초정밀 풀이
❶ $n=k$일 때 성립한다고 가정하면 $$\sum _{i=1}^k(5i-8)=\frac{k\left(5k-11\right)}{2}$$이다.
❷ $n=k+1$일 때는 좌변에 $i=k+1$항인 $(5i-8){|}_{i=k+1}$이 추가된다.
❸ 일반항에 $i=k+1$을 대입하면 $5(k+1)-8$이고, 정리하면 $5k-3$이다.

[핵심 개념] 수학적 귀납법의 귀납 단계(n=k → n=k+1로 넘어갈 때 추가되는 항)

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ $2(2k+1)=4k+2$이고 목표값은 $2(k+1)+1=2k+3$이다.
❷ 두 값의 차를 계산하면 $4k+2-(2k+3)=2k-1$이므로 $4k+2=(2k+3)+(2k-1)$이다.
❸ 따라서 (가)$=2k-1$이며, $k\ge 3$이므로 $2k-1\ge 5>0$이 항상 성립하여 $4k+2>2k+3$, 즉 $2^{k+1}>2(k+1)+1$이 보장된다.

[오답 확인]
① $2k+1$은 목표식의 우변을 그대로 옮겨 적은 착각이다.
③ $k-1$은 계수 $2$를 누락한 실수이다.
④ $2k$는 상수항 $-1$을 빠뜨린 실수이다.
⑤ $k+1$은 계수와 상수항을 모두 잘못 계산한 경우이다.

[핵심 개념]
부등식의 수학적 귀납법 증명에서는 귀납적 가정에 배수를 곱한 값과 목표식의 차이가 항상 양수(또는 음이 아님)임을 보여 대소 관계를 연결한다.

[검증]
직접 계산으로 $2(2k+1)-\{2(k+1)+1\}-(2k-1)$을 전개하면 $0$이 되어 항등식이 성립함을 확인했고, $k=3,4,5,6$에서 $2k-1=5,7,9,11$로 모두 양수임을 수치로도 확인하였다.