고등 수학 이산확률변수의 기댓값과 분산 예상문제

🔴 정답 ③ $10$

📌 초정밀 풀이
❶ 기댓값의 선형성: $E(aX+b)=aE(X)+b$
❷ 대입: $E(3X-2)=3\cdot 4-2$
❸ 계산: $=12-2=10$

[오답 확인]
① $6$ : $3(4-2)$처럼 상수를 괄호 안에서 먼저 처리하는 오류
② $7$ : $V(X)=3$을 잘못 섞어 계산
④ $12$ : 상수항 $-2$를 더하지(빼지) 않고 $3E(X)$만 계산
⑤ $14$ : 부호를 반대로 써서 $3\cdot 4+2$로 계산

[핵심 개념] 기댓값의 성질 $E(aX+b)=aE(X)+b$

🔴 정답 ③ $8$

📌 초정밀 풀이
❶ 표준편차: $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{16}=4$
❷ 성질: $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$
❸ 대입: $\sigma (2X-3)=|2|\times 4=8$

[오답 확인]
① $4$ : 계수 $2$를 곱하지 않고 $\sigma (X)$ 자체를 답으로 착각
② $5$ : 상수항을 표준편차에 직접 더하거나 빼는 오류
④ $13$ : $V(2X-3)=4\times 16-3$처럼 분산 계산에 상수항을 잘못 섞음
⑤ $32$ : 표준편차 대신 분산에 계수를 곱함 $2\times 16=32$

[핵심 개념] $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$

🔴 정답 ③ $\frac{3}{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ 기댓값의 정의: $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_i)$
❷ 대입: $$E(X)=0\cdot \frac{1}{8}+1\cdot \frac{3}{8}+2\cdot \frac{3}{8}+3\cdot \frac{1}{8}$$
❸ 계산: $=\frac{0+3+6+3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

[오답 확인]
① $1$ : 확률을 곱하지 않고 $x$값만 단순 평균낸 값과 혼동
② $\frac{5}{4}$ : 계산 중 한 항을 누락
④ $\frac{7}{4}$ : 분자 계산에서 덧셈 실수(합을 $14$로 오산)
⑤ $2$ : 확률이 가장 큰 값들 주변의 값과 기댓값을 혼동

[핵심 개념] 이산확률변수의 기댓값 $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_i)$

🔴 정답 ② $0.49$

📌 초정밀 풀이
❶ 먼저 $E(X)$를 구한다: $E(X)=1(0.2)+2(0.5)+3(0.3)=0.2+1+0.9=2.1$
❷ $E(X^2)$을 구한다: $E(X^2)=1^2(0.2)+2^2(0.5)+3^2(0.3)=0.2+2+2.7=4.9$
❸ 분산 공식 $V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$에 대입: $V(X)=4.9-(2.1{)}^2=4.9-4.41=0.49$

[오답 확인]
① $0.21$ : $E(X)=2.1$의 소수점 위치를 착각하여 계산
③ $0.51$ : $(2.1{)}^2=4.41$을 $4.39$로 잘못 계산해 발생한 오차
④ $0.7$ : 분산이 아닌 표준편차 $\sigma (X)=\sqrt{0.49}$를 답으로 착각
⑤ $4.9$ : $\{E(X){\}}^2$을 빼지 않고 $E(X^2)$을 그대로 답으로 착각

[핵심 개념] $V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$

🔴 정답 ③ $20$

📌 초정밀 풀이
❶ 이항분포 $B(n,p)$의 분산 공식: $V(X)=npq(q=1-p)$
❷ $n=90,p=\frac{1}{3},q=\frac{2}{3}$이므로 대입
❸ 계산: $V(X)=90\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=30\times \frac{2}{3}=20$

[오답 확인]
① $10$ : $q=\frac{1}{3}$으로 잘못 사용(즉 $p$를 두 번 곱함): $90\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=10$
② $15$ : 약분 과정에서의 계산 실수
④ $25$ : 근사 계산 과정에서의 실수
⑤ $30$ : $E(X)=np=90\times \frac{1}{3}=30$을 분산으로 착각

[핵심 개념] 이항분포의 분산 $V(X)=npq$

🔴 정답 ③ $\frac{161}{36}$

📌 초정밀 풀이
❶ $X=k(k=1,\dots ,6)$일 확률은 두 눈의 최댓값이 $k$인 경우의 수가 $k^2-(k-1{)}^2=2k-1$이므로 $P(X=k)=\frac{2k-1}{36}$이다.
❷ 기댓값 공식 대입: $E(X)=\sum _{k=1}^{6}k\cdot \frac{2k-1}{36}$
❸ 계산(직접 확인으로도 확인 가능): $E(X)=\frac{161}{36}$

[오답 확인]
① $\frac{91}{36}$ : 최댓값이 아닌 최솟값의 기댓값 $E(\min )$을 계산
② $\frac{7}{2}$ : 주사위 한 개만의 기댓값과 혼동(두 눈 중 큰 값이라는 조건을 무시)
④ $7$ : 두 눈의 합의 기댓값과 혼동
⑤ $6$ : 나올 수 있는 최댓값(눈의 수 $6$) 자체를 기댓값으로 착각

[핵심 개념] 최댓값을 갖는 이산확률변수의 확률분포표 작성과 기댓값

🔴 정답 ④ $48$

📌 초정밀 풀이
❶ 분산의 성질: $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ (상수항 $b$는 분산에 영향을 주지 않음)
❷ 대입: $V(-2X+5)=(-2{)}^2\times 12$
❸ 계산: $=4\times 12=48$

[오답 확인]
① $12$ : $V(X)$ 값을 그대로 답으로 착각(계수를 전혀 반영하지 않음)
② $24$ : 제곱을 하지 않고 $|-2|\times 12$로 계산
③ $43$ : 상수항 $5$를 분산 계산 도중 임의로 반영한 계산 실수
⑤ $53$ : $a^{2}V(X)+b=4\times 12+5$처럼 상수항 $5$를 분산에 더하는 오류

[핵심 개념] $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ (평행이동은 분산에 영향 없음)

🔴 정답 ④ $81$

📌 초정밀 풀이
❶ 이항분포의 평균: $E(X)=np=80\times \frac{1}{4}=20$
❷ 기댓값의 선형성: $E(4X+1)=4E(X)+1$
❸ 계산: $=4\times 20+1=81$

[오답 확인]
① $61$ : $V(X)=npq=80\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}=15$를 구한 뒤 $4\times 15+1$로 잘못 계산
② $79$ : 부호를 반대로 써서 $4\times 20-1$로 계산
③ $80$ : 상수항 $+1$을 더하지 않고 $4E(X)$만 계산
⑤ $84$ : $E(X)=21$로 잘못 구해 $4\times 21$을 계산 후 상수항을 누락

[핵심 개념] 이항분포의 평균 $E(X)=np$와 $E(aX+b)=aE(X)+b$