고등 수학 여러 확률변수의 합의 분포 예상문제

🔴 정답 ① $216$

📌 초정밀 풀이
❶ 독립인 확률변수의 분산 $V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$ ($X,Y$ 독립)을 적용한다.
❷ $X$, $Y$가 독립이므로 $V(2X+5Y)=2^{2}V(X)+5^{2}V(Y)=2^2\times 4+5^2\times 8=216$이다.

[핵심 개념] 독립인 확률변수의 분산 $V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$ ($X,Y$ 독립)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $216$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $108$

📌 초정밀 풀이
❶ 독립인 확률변수의 분산 $V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$ ($X,Y$ 독립)을 적용한다.
❷ $X$, $Y$가 독립이므로 $V(3X+2Y)=3^{2}V(X)+2^{2}V(Y)=3^2\times 8+2^2\times 9=108$이다.

[핵심 개념] 독립인 확률변수의 분산 $V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$ ($X,Y$ 독립)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $108$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $144$

📌 초정밀 풀이
❶ 독립인 확률변수의 분산 $V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$ ($X,Y$ 독립)을 적용한다.
❷ $X$, $Y$가 독립이므로 $V(4X+4Y)=4^{2}V(X)+4^{2}V(Y)=4^2\times 7+4^2\times 2=144$이다.

[핵심 개념] 독립인 확률변수의 분산 $V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$ ($X,Y$ 독립)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $144$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $83$

📌 초정밀 풀이
❶ 기댓값의 선형성 $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$을 적용한다.
❷ 기댓값의 선형성에 의해 $E(5X+Y-2)=5E(X)+E(Y)-2=5\times 15+1\times 10+(-2)=83$이다.

[핵심 개념] 기댓값의 선형성 $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $83$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $31$

📌 초정밀 풀이
❶ 기댓값의 선형성 $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$을 적용한다.
❷ 기댓값의 선형성에 의해 $E(3X+2Y-3)=3E(X)+2E(Y)-3=3\times 10+2\times 2+(-3)=31$이다.

[핵심 개념] 기댓값의 선형성 $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $31$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $228$

📌 초정밀 풀이
❶ 독립인 확률변수의 분산 $V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$ ($X,Y$ 독립)을 적용한다.
❷ $X$, $Y$가 독립이므로 $V(2X+5Y)=2^{2}V(X)+5^{2}V(Y)=2^2\times 7+5^2\times 8=228$이다.

[핵심 개념] 독립인 확률변수의 분산 $V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$ ($X,Y$ 독립)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $228$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $67$

📌 초정밀 풀이
❶ 기댓값의 선형성 $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$을 적용한다.
❷ 기댓값의 선형성에 의해 $E(5X+5Y+7)=5E(X)+5E(Y)+7=5\times 10+5\times 2+(7)=67$이다.

[핵심 개념] 기댓값의 선형성 $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $67$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 1번

📌 초정밀 풀이
❶ 서로 독립인 두 정규확률변수의 합은 다시 정규분포를 따르며, 평균과 분산은 각각 더해진다: $X+Y\sim N(E(X)+E(Y),V(X)+V(Y))$
❷ 평균: $E(X+Y)=10+20=30$
❸ 분산(표준편차가 아니라 분산이 더해짐에 유의): $V(X+Y)=2^2+3^2=4+9=13$
따라서 $X+Y\sim N(30,13)$

[오답 확인]
② $N(30,25)$: 표준편차를 먼저 더한 뒤$(2+3=5)$ 제곱하여 분산으로 착각한 경우($5^2=25$)
③ $N(15,13)$: 평균을 더하지 않고 평균을 낸 $\frac{10+20}{2}=15$로 잘못 계산한 경우
④ $N(30,5)$: 표준편차 $2+3=5$를 분산 자리에 그대로 쓴 경우
⑤ $N(60,13)$: 평균을 $2\times 30=60$처럼 잘못 곱한 경우

[핵심 개념]
정규분포의 재생성: 서로 독립인 두 정규확률변수 $X\sim N(m_1,{\sigma }_1^2)$, $Y\sim N(m_2,{\sigma }_2^2)$에 대하여 $X+Y\sim N(m_1+m_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$. 분산은 항상 더해지고, 표준편차는 직접 더할 수 없다는 점이 핵심 함정이다.

[검증]
평균 10+20=30, 분산 4+9=13으로 직접 계산해도 동일한 결과를 얻어 정답과 일치함을 확인하였다.