고등 수학 여러 가지 수열의 합 (부분분수, 계차수열) 예상문제

🔴 정답 ④ $\frac{11}{234}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부분분수로 분해하면 $$\frac{1}{(3k+3)(3k+6)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k+3}-\frac{1}{3k+6}\right)$$이다.
❷ $k=1$부터 $k=11$까지 더하면 중간 항들이 연속으로 소거되는 망원급수(telescoping)가 된다.
❸ 소거 후 남는 값을 계산하면 합은 $\frac{11}{234}$이다.

[핵심 개념] 부분분수를 이용한 망원급수(telescoping sum)

🔴 정답 ④ $\frac{15}{32}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부분분수로 분해하면 $$\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)$$이다.
❷ $k=1$부터 $k=30$까지 더하면 중간 항들이 연속으로 소거되는 망원급수(telescoping)가 된다.
❸ 소거 후 남는 값을 계산하면 합은 $\frac{15}{32}$이다.

[핵심 개념] 부분분수를 이용한 망원급수(telescoping sum)

🔴 정답 ③ $\frac{8}{145}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부분분수로 분해하면 $$\frac{1}{(3k+2)(3k+5)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k+2}-\frac{1}{3k+5}\right)$$이다.
❷ $k=1$부터 $k=8$까지 더하면 중간 항들이 연속으로 소거되는 망원급수(telescoping)가 된다.
❸ 소거 후 남는 값을 계산하면 합은 $\frac{8}{145}$이다.

[핵심 개념] 부분분수를 이용한 망원급수(telescoping sum)

[출제 의도 및 실전 개념]
$\sum$로 표현된 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 묻는 핵심 문항입니다. $S_n-S_{n-1}$의 원리를 덩어리 수열에 적용할 수 있어야 합니다.

[완벽 풀이]
새로운 수열 $b_k=\frac{a_k}{k}$ 라 치환하면, 주어진 식은 ${\sum }_{k=1}^n{b}_k=n^2+2n$ 입니다.
이를 $S_n=n^2+2n$ 이라 합시다.

1단계: 덩어리 수열의 일반항 구하기
$n\ge 2$일 때,
$b_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-\{(n-1{)}^2+2(n-1)\}$
$b_n=n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)=2n+1$
$n=1$일 때, $b_1=S_1=1^2+2(1)=3$.
이는 $2(1)+1=3$과 일치하므로, 모든 자연수 $n$에 대하여 $b_n=2n+1$입니다.

2단계: 원래 수열 $a_n$ 구하기
$b_n=\frac{a_n}{n}=2n+1$ 이므로,
$a_n=n(2n+1)=2n^2+n$ 입니다.

3단계: 시그마 계산하기
$$\sum _{k=1}^5{a}_k=\sum _{k=1}^5(2k^2+k)=2\sum _{k=1}^5{k}^2+\sum _{k=1}^{5}k$$
$$=2\times \frac{5\times 6\times 11}{6}+\frac{5\times 6}{2}$$
$=2\times 55+15=110+15=125$.[실전 포인트]
상수항이 없는 $n$에 대한 이차식 형태의 합 $S_n=A{n}^2+Bn$을 보면, 일반항은 즉시 '첫째항이 $A+B$이고 공차가 $2A$인 등차수열'임을 떠올려야 합니다.
$S_n=1\cdot n^2+2n$ 이므로, $b_n=2\cdot 1\cdot n+(2-1)=2n+1$로 바로 유도하면 계산을 간결하게 할 수 있습니다.

🔴 정답 ① $\frac{2}{9}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부분분수로 분해하면 $$\frac{1}{(k+2)(k+3)}=\frac{1}{1}\left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right)$$이다.
❷ $k=1$부터 $k=6$까지 더하면 중간 항들이 연속으로 소거되는 망원급수(telescoping)가 된다.
❸ 소거 후 남는 값을 계산하면 합은 $\frac{2}{9}$이다.

[핵심 개념] 부분분수를 이용한 망원급수(telescoping sum)

🔴 정답 ③ $\frac{4}{9}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부분분수로 분해하면 $$\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)$$이다.
❷ $k=1$부터 $k=16$까지 더하면 중간 항들이 연속으로 소거되는 망원급수(telescoping)가 된다.
❸ 소거 후 남는 값을 계산하면 합은 $\frac{4}{9}$이다.

[핵심 개념] 부분분수를 이용한 망원급수(telescoping sum)

🔴 정답 ③ $\frac{9}{248}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부분분수로 분해하면 $$\frac{1}{(3k+5)(3k+8)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k+5}-\frac{1}{3k+8}\right)$$이다.
❷ $k=1$부터 $k=18$까지 더하면 중간 항들이 연속으로 소거되는 망원급수(telescoping)가 된다.
❸ 소거 후 남는 값을 계산하면 합은 $\frac{9}{248}$이다.

[핵심 개념] 부분분수를 이용한 망원급수(telescoping sum)

🔴 정답 ⑤ $\frac{4}{15}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부분분수로 분해하면 $$\frac{1}{(k+2)(k+3)}=\frac{1}{1}\left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right)$$이다.
❷ $k=1$부터 $k=12$까지 더하면 중간 항들이 연속으로 소거되는 망원급수(telescoping)가 된다.
❸ 소거 후 남는 값을 계산하면 합은 $\frac{4}{15}$이다.

[핵심 개념] 부분분수를 이용한 망원급수(telescoping sum)