고등 수학 시그마의 성질과 귀납적 정의 예상문제

🔴 정답 ② $102$

📌 초정밀 풀이
❶ 시그마의 선형성에 의해 $$\sum (2a_k+6b_k-2)=2\sum a_k+6\sum b_k+\sum _{k=1}^{16}(-2)$$이다.
❷ $2\sum a_k=2\times 34=68$, $6\sum b_k=6\times 11=66$, ${\sum }_{k=1}^{16}(-2)=-2\times 16=-32$이다.
❸ 따라서 합은 $68+66+(-32)=102$이다.

[핵심 개념] 시그마의 성질(선형성, 상수항의 합)

🔴 정답 ③ $439$

📌 초정밀 풀이
❶ 시그마의 선형성에 의해 $$\sum (5a_k+6b_k-3)=5\sum a_k+6\sum b_k+\sum _{k=1}^{12}(-3)$$이다.
❷ $5\sum a_k=5\times 59=295$, $6\sum b_k=6\times 30=180$, ${\sum }_{k=1}^{12}(-3)=-3\times 12=-36$이다.
❸ 따라서 합은 $295+180+(-36)=439$이다.

[핵심 개념] 시그마의 성질(선형성, 상수항의 합)

🔴 정답 ③ $460$

📌 초정밀 풀이
❶ 시그마의 선형성에 의해 $$\sum (4a_k+4b_k+4)=4\sum a_k+4\sum b_k+\sum _{k=1}^9(4)$$이다.
❷ $4\sum a_k=4\times 47=188$, $4\sum b_k=4\times 59=236$, ${\sum }_{k=1}^9(4)=4\times 9=36$이다.
❸ 따라서 합은 $188+236+(36)=460$이다.

[핵심 개념] 시그마의 성질(선형성, 상수항의 합)

🔴 정답 ③ $23$

📌 초정밀 풀이
❶ 시그마의 선형성에 의해 $$\sum (a_k+b_k-2)=1\sum a_k+1\sum b_k+\sum _{k=1}^9(-2)$$이다.
❷ $1\sum a_k=1\times 22=22$, $1\sum b_k=1\times 19=19$, ${\sum }_{k=1}^9(-2)=-2\times 9=-18$이다.
❸ 따라서 합은 $22+19+(-18)=23$이다.

[핵심 개념] 시그마의 성질(선형성, 상수항의 합)

🔴 정답 ③ $17$

📌 초정밀 풀이
❶ 시그마의 선형성에 의해 $$\sum (2a_k+2b_k-7)=2\sum a_k+2\sum b_k+\sum _{k=1}^7(-7)$$이다.
❷ $2\sum a_k=2\times 5=10$, $2\sum b_k=2\times 28=56$, ${\sum }_{k=1}^7(-7)=-7\times 7=-49$이다.
❸ 따라서 합은 $10+56+(-49)=17$이다.

[핵심 개념] 시그마의 성질(선형성, 상수항의 합)

🔴 정답 ② $28$

📌 초정밀 풀이
❶ $k=3$부터 $k=9$까지의 항의 개수를 센다: $9-3+1=7$(개)
❷ 상수함수의 시그마 성질: $\sum _{k=3}^{9}4=4\times (\text{항의 개수})$
❸ 계산: $4\times 7=28$

[오답 확인]
① $24$는 항의 개수를 $6$으로 잘못 센 경우이다.
③ $32$는 항의 개수를 $8$로 잘못 센 경우이다.
④ $36$은 $k=1$부터 $9$까지로 오해하여 항의 개수를 $9$로 센 경우이다.
⑤ $40$은 항의 개수를 $10$으로 잘못 센 경우이다.

[핵심 개념] 상수함수의 시그마: $\sum _{k=a}^{b}c=c\times (b-a+1)$

🔴 정답 ④ $352$

📌 초정밀 풀이
❶ 시그마의 선형성에 의해 $$\sum (4a_k+2b_k+4)=4\sum a_k+2\sum b_k+\sum _{k=1}^{20}(4)$$이다.
❷ $4\sum a_k=4\times 51=204$, $2\sum b_k=2\times 34=68$, ${\sum }_{k=1}^{20}(4)=4\times 20=80$이다.
❸ 따라서 합은 $204+68+(80)=352$이다.

[핵심 개념] 시그마의 성질(선형성, 상수항의 합)

🔴 정답 ① $172$

📌 초정밀 풀이
❶ 시그마의 선형성에 의해 $$\sum (6a_k+4b_k-1)=6\sum a_k+4\sum b_k+\sum _{k=1}^{14}(-1)$$이다.
❷ $6\sum a_k=6\times 21=126$, $4\sum b_k=4\times 15=60$, ${\sum }_{k=1}^{14}(-1)=-1\times 14=-14$이다.
❸ 따라서 합은 $126+60+(-14)=172$이다.

[핵심 개념] 시그마의 성질(선형성, 상수항의 합)