고등 수학 순열과 조합 예상문제

🔴 정답 ③ $120$

📌 초정밀 풀이
❶ 서로 다른 6개의 숫자 중 3개를 택해 일렬로 배열하는 문제 → 순서가 다르면 다른 수이므로 순열을 이용한다.
❷ 공식: ${}_6{P}_3=6\times 5\times 4$
❸ 계산: $6\times 5\times 4=120$
❹ 따라서 만들 수 있는 세 자리 자연수는 $120$개이다.

[오답 확인]
① $20$: ${}_6{C}_3=20$으로 순서를 고려하지 않는 조합 공식을 잘못 적용
② $60$: $5\times 4\times 3$으로 계산해 첫 자리 선택 개수를 하나 줄이는 실수
④ $216$: $6^3=216$으로 중복을 허용하는 중복순열로 착각
⑤ $720$: $6!=720$으로 6개 전부를 배열하는 것으로 착각

[핵심 개념] 순열의 수 ${}_n{P}_r$

🔴 정답 ③ $210$

📌 초정밀 풀이
❶ 순서 없이 대표 4명을 뽑는 문제이므로 조합을 이용한다.
❷ 공식: ${}_{10}{C}_4=\frac{10!}{4!6!}$
❸ 계산: $\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$
❹ 따라서 뽑는 경우의 수는 $210$가지이다.

[오답 확인]
① $45$: ${}_{10}{C}_2=45$로 뽑는 인원 수(r)를 잘못 대입
② $120$: ${}_{10}{C}_3=120$으로 뽑는 인원 수(r)를 잘못 대입
④ $5040$: ${}_{10}{P}_4=5040$으로 순서를 고려하는 순열로 착각
⑤ $151200$: $\frac{10!}{4!}=151200$으로 분모의 $(n-r)!$을 빠뜨리는 실수

[핵심 개념] 조합의 수 ${}_n{C}_r$

🔴 정답 ③ $120$

📌 초정밀 풀이
❶ 원순열은 회전을 같은 배열로 보므로 한 사람을 고정하고 나머지를 배열한다.
❷ 공식: $(n-1)!=(6-1)!$
❸ 계산: $5!=120$
❹ 따라서 앉는 경우의 수는 $120$가지이다.

[오답 확인]
① $24$: $(6-2)!=4!=24$로 고정해야 할 인원을 하나 더 빼는 실수
② $60$: $(6-1)!/2=60$으로 뒤집기(반사) 대칭까지 추가로 나누는 실수(목걸이 순열과 혼동)
④ $360$: $6!/2=360$으로 일반 순열의 절반만 줄이는 실수
⑤ $720$: $6!=720$으로 원순열이 아닌 일반(줄 세우기) 순열로 착각

[핵심 개념] 원순열 $(n-1)!$

🔴 정답 ⑤ $243$

📌 초정밀 풀이
❶ 각 칸마다 3가지 색 중 하나를 독립적으로(중복을 허용하여) 선택하므로 중복순열이다.
❷ 공식: $3^5$ (칸의 개수만큼 밑을 거듭제곱)
❸ 계산: $3^5=243$
❹ 따라서 색칠하는 전체 경우의 수는 $243$가지이다.

[오답 확인]
① $15$: $3\times 5=15$로 곱의 법칙을 잘못 적용(단순 곱셈)
② $60$: ${}_5{P}_3=60$처럼 관련 없는 순열 공식을 가져다 씀
③ $81$: $3^4=81$로 칸의 개수를 하나 적게 세는 실수
④ $125$: $5^3=125$로 밑과 지수를 바꿔 계산하는 실수

[핵심 개념] 중복순열 ${}_n{\Pi }_r=n^r$

🔴 정답 ② $56$

📌 초정밀 풀이
❶ 삼각형 하나는 순서와 무관하게 점 3개를 택하면 결정되므로 조합을 이용한다.
❷ 공식: ${}_8{C}_3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}$
❸ 계산: $\frac{336}{6}=56$
❹ 따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 $56$개이다.

[오답 확인]
① $28$: ${}_8{C}_2=28$로 뽑는 점의 개수(r)를 잘못 대입
③ $70$: ${}_8{C}_4=70$으로 뽑는 점의 개수(r)를 잘못 대입
④ $336$: ${}_8{P}_3=336$으로 점을 뽑는 순서를 고려하는 실수(삼각형은 순서 무관)
⑤ $40320$: $8!=40320$으로 조합이 아닌 전체 배열 수로 착각

[핵심 개념] 조합의 활용 – 도형의 개수

🔴 정답 ① $20$

📌 초정밀 풀이
❶ 곱의 법칙(동시에 일어나는 사건의 경우의 수)을 적용한다.
❷ 식을 세우면 $4\times 5$이다.
❸ 이를 계산하면 $20$이다.

[핵심 개념] 곱의 법칙(동시에 일어나는 사건의 경우의 수)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $20$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $210$

📌 초정밀 풀이
❶ 순열의 수 ${}_n{\mathrm{P}}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ (서로 다른 직책에 서로 다른 사람 배정)을 적용한다.
❷ 식을 세우면 $7\times 6\times 5$이다.
❸ 이를 계산하면 $210$이다.

[핵심 개념] 순열의 수 ${}_n{\mathrm{P}}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ (서로 다른 직책에 서로 다른 사람 배정)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $210$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $35$

📌 초정밀 풀이
❶ 곱의 법칙(동시에 일어나는 사건의 경우의 수)을 적용한다.
❷ 식을 세우면 $7\times 5$이다.
❸ 이를 계산하면 $35$이다.

[핵심 개념] 곱의 법칙(동시에 일어나는 사건의 경우의 수)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $35$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.