[오답분석] ② -1: 2b-5=7을 2b=2(이항 실수로 5를 더하지 않고 빼는 등)로 잘못 풀어 b=1로 계산하면 a-b=3-1이 아닌 다른 조합에서 나올 수 있는 값이다. ③ 1: a와 b를 바꾸어 b-a=6-3... 등 순서를 혼동하거나, a,b 값을 부분적으로 잘못 구해 나올 수 있는 값이다. ④ 3: a-b 대신 b-a를 계산하지 않고 부호를 놓쳐 6-3이 아니라 3-6의 부호를 빠뜨린 전형적인 실수이다(정답의 부호를 놓친 경우). ⑤ 9: a-b가 아니라 a+b(=3+6=9)를 계산한, 연산 자체를 잘못 선택한 실수이다.
[다른 풀이] 검산: a=3, b=6을 원래 순서쌍에 대입하면 (3×3+2, 2×6-5)=(11,7)로 주어진 순서쌍과 정확히 일치하므로 값이 옳음을 확인할 수 있다.
[핵심 정리] [핵심1] 순서쌍의 상등 조건은 x좌표, y좌표를 각각 독립된 방정식으로 세워 푸는 것이다 [핵심2] a-b와 b-a, a+b를 혼동하지 않도록 문제에서 묻는 식을 정확히 확인한다. 정답: 1
[보강 설명] 문제에서 사용한 핵심 성질을 한 번 더 확인하고, 구한 값을 원래 조건에 대입하여 식이나 도형의 조건이 모두 성립하는지 검산한다. 계산 과정에서는 부호, 단위, 대응 관계를 따로 점검한다. 정답: 2
[검산 확장] 사용한 성질의 적용 조건을 다시 확인한 뒤, 구한 값을 원래 문제에 대입해 검산한다. 수식은 역연산과 직접 대입으로, 도형은 각과 길이의 관계로, 통계는 전체 도수와 비율의 합으로 결과를 확인한다. 계산이 맞더라도 문제의 조건을 빠뜨리면 오답이 될 수 있으므로 마지막에 조건을 하나씩 다시 대조한다. 정답: 2
3.난이도 보통
민준이는 집에서 출발하여 도서관까지 일정한 속력으로 걸어갔다. 도서관에서 20분 동안 책을 읽은 후, 다시 집으로 처음보다 더 빠른 속력으로 걸어서 돌아왔다. 시간에 따른 '집으로부터의 거리'를 나타낸 그래프의 모양으로 가장 알맞은 것은?
①거리가 증가하다가 일정하게 유지된 후, 처음보다 완만하게 감소한다.
②거리가 증가하다가 일정하게 유지된 후, 처음보다 가파르게 감소한다.
③거리가 감소하다가 일정하게 유지된 후, 증가한다.
④거리가 계속 증가하기만 한다.
⑤거리가 증가하다가 감소하고, 다시 증가한다.
정답·해설 보기
정답: ②번
[개념] 상황을 그래프로 나타내기 — 이동 상황을 '시간-거리' 그래프로 나타낼 때, 이동하면 거리가 변하고(속력이 빠를수록 그래프가 가파름), 머물러 있으면 거리가 일정하게 유지된다.
[풀이] 1단계. 집에서 도서관까지 걸어가는 동안 집으로부터의 거리는 점점 늘어난다 → 그래프가 증가한다. 2단계. 도서관에서 20분 동안 책을 읽는 동안은 이동하지 않으므로 거리에 변화가 없다 → 그래프가 일정하게(수평으로) 유지된다. 3단계. 집으로 돌아올 때는 거리가 점점 줄어든다 → 그래프가 감소한다. 이때 '처음보다 더 빠른 속력'으로 이동했으므로, 같은 거리를 더 짧은 시간에 이동한 것이 되어 그래프의 기울기(경사)가 갈 때보다 가파르다. 4단계. 따라서 '증가 → 일정 → (갈 때보다) 가파르게 감소'하는 모양의 그래프가 상황을 가장 잘 나타낸다.
[오답분석] ① 완만하게 감소: 돌아올 때가 더 빠른 속력이므로 그래프는 갈 때보다 완만한 것이 아니라 더 가파르게 감소해야 한다. 속력과 그래프 기울기의 관계를 반대로 이해한 오류이다. ③ 감소로 시작: 처음에는 도서관으로 가므로 거리가 증가해야 하는데, 감소로 시작한다고 서술해 방향을 반대로 이해한 오류이다. ④ 계속 증가만: 도서관에서 머무는 구간(일정)과 집으로 돌아오는 구간(감소)을 모두 놓친 서술이다. ⑤ 증가-감소-증가: 도서관에서 머무는 '일정한 구간(정지)'을 반영하지 않고, 왕복을 두 번 하는 것처럼 잘못 서술한 오류이다.
[다른 풀이] 그래프를 세 구간으로 나누어 표로 정리하면 빠르게 검토할 수 있다: [1구간] 이동(집→도서관): 거리 증가, [2구간] 정지(독서 20분): 거리 일정, [3구간] 이동(도서관→집, 더 빠름): 거리 감소하되 기울기가 더 가파름. 이 세 특징을 모두 포함하는 서술은 ②뿐이다.
[핵심 정리] [핵심1] 이동하면 그래프가 증가하거나 감소하고, 멈추면 그래프가 수평(일정)이 된다 [핵심2] 속력이 빠를수록 같은 거리를 더 짧은 시간에 이동하므로 그래프의 기울기(경사)가 더 가파르다. 정답: 2
4.난이도 보통
y=3x에서 x=-4일 때, y의 값은?
①12
②-7
③-1
④7
⑤-12
정답·해설 보기
정답: ⑤번
y=3x에 x=-4를 대입: y=3×(-4)=-12
핵심 정리 [핵심 1] 정비례 관계식은 x값을 그대로 대입하여 y값을 구한다. [핵심 2] 음수를 대입할 때 부호 계산에 주의한다.
정답: 5
[보강 설명] 문제에서 사용한 핵심 성질을 한 번 더 확인하고, 구한 값을 원래 조건에 대입하여 식이나 도형의 조건이 모두 성립하는지 검산한다. 계산 과정에서는 부호, 단위, 대응 관계를 따로 점검한다. 정답: 5
[검산 확장] 사용한 성질의 적용 조건을 다시 확인한 뒤, 구한 값을 원래 문제에 대입해 검산한다. 수식은 역연산과 직접 대입으로, 도형은 각과 길이의 관계로, 통계는 전체 도수와 비율의 합으로 결과를 확인한다. 계산이 맞더라도 문제의 조건을 빠뜨리면 오답이 될 수 있으므로 마지막에 조건을 하나씩 다시 대조한다. 정답: 5
5.난이도 보통
점 (-3, -5)를 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는?
①(-3, 5)
②(3, -5)
③(3, 5)
④(-5, -3)
⑤(5, 3)
정답·해설 보기
정답: ②번
y축 대칭이동은 x좌표의 부호만 바뀐다: (-3,-5) → (3,-5)
핵심 정리 [핵심 1] y축 대칭: (a,b)→(-a,b) [핵심 2] 부호가 바뀌는 좌표가 x인지 y인지 헷갈리지 않도록 주의한다.
정답: 2
[보강 설명] 문제에서 사용한 핵심 성질을 한 번 더 확인하고, 구한 값을 원래 조건에 대입하여 식이나 도형의 조건이 모두 성립하는지 검산한다. 계산 과정에서는 부호, 단위, 대응 관계를 따로 점검한다. 정답: 2
[검산 확장] 사용한 성질의 적용 조건을 다시 확인한 뒤, 구한 값을 원래 문제에 대입해 검산한다. 수식은 역연산과 직접 대입으로, 도형은 각과 길이의 관계로, 통계는 전체 도수와 비율의 합으로 결과를 확인한다. 계산이 맞더라도 문제의 조건을 빠뜨리면 오답이 될 수 있으므로 마지막에 조건을 하나씩 다시 대조한다. 정답: 2
6.난이도 보통
두 순서쌍 (2a-1, 6)과 (5, b+2)가 서로 같을 때, a+b의 값은?
①5
②7
③6
④10
⑤11
정답·해설 보기
정답: ②번
[풀이전략] 두 순서쌍이 서로 같으려면 순서쌍을 이루는 두 성분(x좌표끼리, y좌표끼리)이 각각 같아야 한다.
[단계별 풀이] 1단계. 두 순서쌍의 첫 번째 성분(x좌표)이 같아야 하므로 2a-1=5이다. 이를 풀면 2a=6, a=3 2단계. 두 순서쌍의 두 번째 성분(y좌표)이 같아야 하므로 6=b+2이다. 이를 풀면 b=4 3단계. a+b = 3+4 = 7
[오답분석] ① 5: a=3만 구하고 b를 더하지 않고 2를 더하는 등(3+2), 두 번째 방정식을 잘못 처리한 경우이다. ③ 6: b+2=6에서 b=6으로 착각(2를 빼지 않음)하여 a+b=3+6이 아니라 다른 실수와 섞여 6이 나온 경우이다. ④ 10: 2a-1=5를 2a=5로(1을 이항하지 않음) 풀어 a=2.5로 계산하다 다른 값과 혼동하거나, b+2=6을 b=8로 잘못 풀어(부호를 반대로 이항) a+b=3+7이 아닌 값이 섞인 경우 등에서 나올 수 있다. ⑤ 11: b+2=6을 b=8(부호를 반대로 이항)로 잘못 풀면 a+b=3+8=11이 된다. 이항할 때는 부호가 바뀐다는 사실을 놓친 전형적인 실수이다.
[다른 풀이] 순서쌍이 같다는 것은 대응하는 좌표가 각각 일치한다는 뜻이므로, 두 식을 연립방정식처럼 각각 독립적으로 풀어도 결과는 같다: 2a-1=5 → a=3, b+2=6 → b=4, 검산: (2×3-1, 6)=(5,6)=(5, 4+2)=(5,6)으로 두 순서쌍이 실제로 일치함을 확인할 수 있다.
[핵심 정리] [핵심1] 두 순서쌍 (a,b)=(c,d)가 성립하려면 a=c이고 b=d, 즉 두 조건이 동시에 성립해야 한다 [핵심2] 이항할 때는 부호가 반대로 바뀐다는 점을 각 방정식마다 별도로 검산한다. 정답: 2
7.난이도 보통
반비례 관계 y=a/x의 그래프가 점 (3, 4)를 지날 때, a의 값은?
①1
②7
③1/3
④12
⑤4/3
정답·해설 보기
정답: ④번
점 (3,4)를 대입: 4=a÷3 → a=4×3=12
핵심 정리 [핵심 1] 반비례 y=a/x에서 a는 그래프가 지나는 한 점의 x좌표와 y좌표를 곱한 값이다. [핵심 2] a=x×y
정답: 4
[보강 설명] 문제에서 사용한 핵심 성질을 한 번 더 확인하고, 구한 값을 원래 조건에 대입하여 식이나 도형의 조건이 모두 성립하는지 검산한다. 계산 과정에서는 부호, 단위, 대응 관계를 따로 점검한다. 정답: 4
[검산 확장] 사용한 성질의 적용 조건을 다시 확인한 뒤, 구한 값을 원래 문제에 대입해 검산한다. 수식은 역연산과 직접 대입으로, 도형은 각과 길이의 관계로, 통계는 전체 도수와 비율의 합으로 결과를 확인한다. 계산이 맞더라도 문제의 조건을 빠뜨리면 오답이 될 수 있으므로 마지막에 조건을 하나씩 다시 대조한다. 정답: 4
8.난이도 보통
물이 담겨 있지 않은 원통 모양의 빈 컵에 일정한 속력으로 물을 채웠다. 시간에 따른 '물의 높이'를 나타낸 그래프의 모양으로 가장 알맞은 것은?
①시간이 지남에 따라 물의 높이가 일정한 기울기로 계속 증가한다.
②시간이 지남에 따라 물의 높이가 계속 감소한다.
③시간이 지남에 따라 물의 높이가 변하지 않고 일정하다.
④시간이 지남에 따라 물의 높이가 증가하다가 갑자기 0이 된다.
⑤시간이 지남에 따라 물의 높이가 증가와 감소를 반복한다.
정답·해설 보기
정답: ①번
[개념] 상황을 그래프로 나타내기 — 일정한 속력(단위 시간당 같은 양)으로 물을 채우면, 원통 모양의 컵에서는 물의 높이가 시간에 정비례하듯 일정한 빠르기로 계속 증가한다.
[풀이] 1단계. '일정한 속력으로 물을 채운다'는 것은 같은 시간 동안 항상 같은 양의 물이 더해진다는 뜻이다. 2단계. 컵이 원통 모양(단면의 넓이가 일정)이므로, 같은 양의 물이 더해질 때마다 물의 높이도 항상 같은 만큼씩 올라간다. 3단계. 따라서 시간에 따른 물의 높이 그래프는 원점에서 시작하여 일정한 기울기로 곧게 뻗어 올라가는 모양이 된다.
[오답분석] ② 계속 감소: 물을 계속 채워 넣고 있으므로 높이는 줄어들 수 없다. 상황(채우기)과 반대로 이해한 오류이다. ③ 변화 없이 일정: 물을 채우고 있는데 높이가 변하지 않는다는 것은 물을 전혀 넣지 않는 상황과 같으므로 모순이다. ④ 증가하다가 갑자기 0: 컵에 물이 넘치거나 쏟아지는 등 문제에서 주어지지 않은 상황을 임의로 가정한 오류이다. ⑤ 증가와 감소 반복: 물을 채우다가 중간에 빼는 상황이 반복된다고 잘못 상상한 경우로, 문제에는 그런 언급이 없다.
[다른 풀이] 원통 모양 컵은 높이에 관계없이 단면의 넓이가 일정하므로, '넣은 물의 양 = 넓이 × 높이' 관계에서 넓이가 일정하면 높이는 넣은 물의 양에 정비례한다. 물을 일정한 속력으로 넣으면 시간과 물의 양도 정비례하므로, 결국 시간과 높이도 정비례 관계가 되어 원점을 지나는 직선 모양의 그래프가 된다.
[핵심 정리] [핵심1] 원통형 그릇에 일정한 속력으로 물을 채우면 높이는 시간에 정비례하여 일정한 기울기로 증가한다 [핵심2] 상황을 그래프로 나타낼 때는 '증가/감소/일정' 중 어떤 변화가 일어나는지와 그 변화의 빠르기(기울기)를 함께 고려해야 한다. 정답: 1