중1 수학 입체도형의 성질 예상문제

[풀이 전략] 정다면체는 5가지뿐이며, 각 정다면체의 면의 모양은 정해져 있다: 정사면체·정팔면체·정이십면체는 정삼각형, 정육면체는 정사각형, 정십이면체는 정오각형이다.

1단계: 5가지 정다면체와 면의 모양을 하나씩 대조한다.
· 정사면체 - 정삼각형 (O)
· 정육면체 - 정사각형 (O)
· 정팔면체 - 정오각형 (X, 실제로는 정삼각형)
· 정십이면체 - 정오각형 (O)
· 정이십면체 - 정삼각형 (O)
2단계: 옳지 않게 짝지어진 것은 '정팔면체 - 정오각형'이다.

[오답 분석] 나머지 네 짝은 모두 실제 정다면체의 면의 모양과 정확히 일치한다. 정오각형을 면으로 갖는 정다면체는 정십이면체 하나뿐이라는 점을 기억하면 정팔면체와 헷갈리지 않는다.

[다른 풀이] 면의 모양별로 분류해서 외우면 빠르다: 정삼각형 면 → 정사면체·정팔면체·정이십면체(3가지), 정사각형 면 → 정육면체(1가지), 정오각형 면 → 정십이면체(1가지).

[핵심 정리] [핵심1] 정다면체는 정사면체·정육면체·정팔면체·정십이면체·정이십면체의 5가지뿐이다. [핵심2] 정오각형이 면인 정다면체는 정십이면체뿐이다.

정답: 2

[풀이 전략] 다면체는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형이다. 곡면을 포함하면 다면체가 아니라 회전체이다.

1단계: 각 선택지의 면을 확인한다.
· 원기둥 — 밑면 2개(원)+옆면 1개(곡면) → 곡면 포함 → 다면체 X
· 원뿔 — 밑면 1개(원)+옆면 1개(곡면) → 곡면 포함 → 다면체 X
· 구 — 전체가 곡면 → 다면체 X
· 정육면체 — 6개의 면이 모두 정사각형(다각형) → 다면체 O
· 원뿔대 — 밑면 2개(원)+옆면 1개(곡면) → 곡면 포함 → 다면체 X
2단계: 다각형 면으로만 둘러싸인 것은 정육면체뿐이므로 답은 정육면체이다.

[오답 분석] 원기둥, 원뿔, 구, 원뿔대는 모두 원 또는 곡면을 옆면·밑면에 포함하는 회전체이다. 회전체는 다각형이 아닌 곡면을 반드시 포함하므로 다면체가 될 수 없다.

[다른 풀이] 반대로 '다면체가 아닌 것'을 먼저 골라내는 방법도 있다. 원, 곡면이 하나라도 보이면 즉시 회전체(다면체 아님)로 소거하면 정육면체만 남는다.

[핵심 정리] [핵심1] 다면체=다각형인 면으로만 둘러싸인 입체 [핵심2] 원기둥·원뿔·원뿔대·구는 곡면을 포함하므로 회전체이며 다면체가 아니다.

정답: 4

[핵심 개념] 다면체의 이름은 면의 개수에 '면체'를 붙여서 정한다. 즉 면이 n개이면 'n면체'라고 부른다.

1단계: 면의 개수를 확인한다 → 8개
2단계: 면의 개수 8에 '면체'를 붙인다 → 팔면체

[오답 분석] 육면체는 면이 6개, 칠면체는 면이 7개, 구면체는 면이 9개(구 자체가 아니라 '9면체'라는 뜻이므로 혼동 주의), 십면체는 면이 10개인 다면체의 이름이다. 문제에서 면의 개수는 8개라고 제시되었으므로 이 이름들은 모두 틀렸다.

[핵심 정리] [핵심1] n개의 면을 가진 다면체 → n면체 [핵심2] 예: 4면체(사면체)=삼각뿔, 6면체(육면체)=직육면체·정육면체 등 여러 가지가 존재할 수 있다.

정답: 4

[핵심 개념] 정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 모두 같은 볼록다면체이다. 정다면체는 오직 5가지(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)뿐이다.

1단계: 선택지에 제시된 이름들을 5가지 정다면체 목록과 비교한다.
2단계: 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체는 모두 실제로 존재하는 정다면체이다.
3단계: '정칠면체'는 정다면체의 정의를 만족하는 도형으로 존재하지 않는다(한 꼭짓점에 모이는 각의 합이 360° 미만이어야 하는 조건을 만족하는 정다각형·개수 조합이 딱 5가지뿐이기 때문).

[오답 분석] 정사면체(면 4개, 정삼각형), 정육면체(면 6개, 정사각형), 정팔면체(면 8개, 정삼각형), 정십이면체(면 12개, 정오각형)는 모두 실제 존재하는 정다면체이므로 정답이 될 수 없다.

[핵심 정리] [핵심1] 정다면체는 정사면체·정육면체·정팔면체·정십이면체·정이십면체의 5가지뿐이다. [핵심2] 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360°보다 작아야 하므로 정육각형 이상의 정다각형으로는 정다면체를 만들 수 없다.

정답: 5

[핵심 개념] 다면체는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형이다. 즉, 평평한 다각형 면들로만 이루어져야 다면체이다.

1단계: 각 선택지의 면의 모양을 확인한다.
· 삼각기둥 — 밑면 2개(삼각형), 옆면 3개(직사각형) → 모든 면이 다각형 → 다면체 O
· 사각뿔 — 밑면 1개(사각형), 옆면 4개(삼각형) → 모든 면이 다각형 → 다면체 O
· 원기둥 — 밑면 2개(원), 옆면 1개(굽은 곡면) → 원은 다각형이 아니고 옆면도 곡면 → 다면체 X
· 오각뿔대 — 밑면 2개(오각형), 옆면 5개(사다리꼴) → 모든 면이 다각형 → 다면체 O
· 육각기둥 — 밑면 2개(육각형), 옆면 6개(직사각형) → 모든 면이 다각형 → 다면체 O

2단계: 곡면을 포함하는 입체도형(원기둥, 원뿔, 구)은 회전체이며 다면체가 아니다. 따라서 답은 원기둥이다.

[오답 분석] 삼각기둥, 사각뿔, 오각뿔대, 육각기둥은 모두 각뿔·각기둥·각뿔대 계열로, 평면인 다각형 면으로만 둘러싸여 있으므로 다면체가 맞다. 이들을 다면체가 아니라고 착각하면 안 된다.

[핵심 정리] [핵심1] 다면체 = 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형 [핵심2] 원기둥·원뿔·구처럼 곡면을 포함하면 다면체가 아니라 회전체이다.

정답: 5

[풀이 전략] 오일러의 공식 V - E + F = 2를 F에 대해 정리하면 F = 2 - V + E이다.

1단계(식 세우기): F = 2 - V + E
2단계(대입): F = 2 - 20 + 30
3단계(계산): F = 12(개)
4단계(확인): 꼭짓점 20개, 모서리 30개, 면 12개는 실제로 정십이면체의 값과 일치한다.

[오답 분석] 10개는 E-V=30-20을 그대로 쓴 값이다(상수항 2를 빠뜨림). 48개는 V+E-2=20+30-2를 계산한 값으로 부호를 잘못 세운 식이다. 8개는 정팔면체의 면의 개수와 착각한 값이다. 20개는 꼭짓점의 개수를 그대로 답으로 쓴 값이다.

[다른 풀이] 정다면체 5종의 (V,E,F) 값을 표로 외워두면 계산 없이도 즉시 답을 알 수 있다: 정사면체(4,6,4), 정육면체(8,12,6), 정팔면체(6,12,8), 정십이면체(20,30,12), 정이십면체(12,30,20). 꼭짓점 20개, 모서리 30개는 정십이면체이므로 면은 12개이다.

[핵심 정리] [핵심1] F = 2-V+E [핵심2] 정십이면체는 (꼭짓점, 모서리, 면) = (20, 30, 12)이다.

정답: 4

[풀이 전략] 오일러의 공식: (꼭짓점의 개수) - (모서리의 개수) + (면의 개수) = 2, 즉 V - E + F = 2.

1단계(식 세우기): V - E + F = 2
2단계(대입): V - 16 + 9 = 2
3단계(정리): V - 7 = 2
4단계(계산): V = 2 + 7 = 9(개)

[오답 분석] 7개는 E-F=16-9를 그대로 답으로 착각한 값이다(부호와 상수항 2를 빠뜨림). 16개는 모서리의 개수를 그대로 답으로 쓴 값이다. 23개는 V+E-2 형태로 잘못 세운 식(E+F-2=16+9-2)의 결과이다. 25개는 V-E+F=2가 아니라 V=E+F로 착각해 16+9=25를 계산한 값이다.

[다른 풀이] 오각기둥은 실제로 꼭짓점 10개, 모서리 15개, 면 7개를 갖는 것처럼, 이 문제의 조건(면9, 모서리16)에 가까운 실제 다면체(칠각뿔: 꼭짓점8, 모서리14, 면8과는 다름)를 대입해 공식이 항상 성립하는지 검산해 볼 수 있다. 실제로 8-12+6=2(정육면체)처럼 임의의 다면체로 공식 V-E+F=2 자체를 먼저 검증한 뒤 계산하면 실수를 줄일 수 있다.

[핵심 정리] [핵심1] 오일러 공식: V-E+F=2 [핵심2] 세 값 중 두 개를 알면 나머지 하나를 항상 구할 수 있다.

정답: 2

[핵심 공식] 모서리의 개수 = (면의 개수 × 한 면의 변의 개수) ÷ 2

1단계: 정이십면체의 면은 정삼각형 20개이고, 정삼각형은 변이 3개이다.
2단계: 모든 면의 변을 단순히 합하면 20×3 = 60(개)인데, 모서리 하나마다 반드시 두 면이 겹쳐서 공유하므로 실제 모서리 수는 절반이다.
3단계: 모서리의 개수 = 60 ÷ 2 = 30(개)

[오답 분석] 60은 절반으로 나누는 것을 빠뜨린 값(각 면의 변의 개수를 그대로 합한 값)이다. 20은 면의 개수를 그대로 모서리 개수로 답한 값이다. 15는 60을 4로 나누는 등 계산 실수를 한 값이다. 12는 정이십면체의 꼭짓점의 개수와 혼동한 값이다.

[다른 풀이] 오일러 공식으로 교차 검산: 정이십면체의 꼭짓점은 12개이므로 v-e+f=2에서 12-e+20=2, e=30으로 동일한 결과를 얻는다.

[핵심 정리] [핵심1] 모서리 개수 = (면의 개수×한 면의 변의 개수)÷2 [핵심2] 이 방법과 오일러 공식은 서로 다른 접근이지만 항상 같은 결과를 준다.

정답: 4