중1 수학 소인수분해 예상문제

이 문제는 거듭제곱 표기를 원래의 곱셈식으로 풀어 쓸 수 있는지를 묻고 있다.
[풀이] 3³은 밑이 3, 지수가 3이므로 3을 3번 곱한 것, 즉 3×3×3을 뜻한다.
[오답분석]
② 3×3: 3을 2번만 곱하여 지수를 1 작게 잘못 읽은 경우이다(이는 3²에 해당).
③ 3×2: 거듭제곱의 지수를 곱하는 수로 착각한 경우이다.
④ 3×3×3×3: 3을 4번 곱하여 지수를 1 크게 잘못 읽은 경우이다(이는 3⁴에 해당).
⑤ 3+3+3+3: 거듭제곱(반복된 곱셈)을 반복된 덧셈으로 착각한 경우이다.
[다른 풀이] 지수 3은 밑 3이 곱해지는 '횟수'이므로, 3을 나열할 때 정확히 3개를 곱셈 기호(×)로 연결하면 된다.
[핵심 정리] [핵심1] 거듭제곱의 지수는 곱하는 횟수를 의미하며 더하는 횟수가 아니다. [핵심2] aⁿ = a×a×...×a (a를 n번 곱함).
정답: 1

이 문제는 '서로소'라는 용어의 정의(최대공약수가 1인 관계)를 정확히 이해하고 그 부정형까지 판단할 수 있는지를 묻고 있다.
[풀이] 서로소는 '두 수의 최대공약수가 1'인 경우를 가리키는 말이다. 문제에서 A와 B의 최대공약수가 1이 아니라고 하였으므로, 정의에 따라 A와 B는 서로소가 아니다.
[오답분석]
① 서로소의 정의와 정반대되는 설명이다. 최대공약수가 1이 아니면 서로소가 될 수 없다.
③ 예를 들어 A=4, B=6이면 최대공약수는 2(≠1)이지만 4와 6은 모두 합성수이다. 따라서 두 수가 항상 소수인 것은 아니다.
④ 예를 들어 A=3, B=9이면 최대공약수는 3(≠1)이지만 곱 3×9=27은 홀수이다. 따라서 곱이 항상 짝수라는 것은 거짓이다.
⑤ 예를 들어 A=4, B=6은 최대공약수가 2(≠1)이지만 서로 다른 수이다. 따라서 두 수가 항상 같다는 것은 거짓이다.
[다른 풀이] 반례를 하나 직접 만들어 확인해도 된다. A=6, B=9는 최대공약수가 3으로 1이 아니므로 서로소가 아니며, 이는 ①이 틀렸고 ②가 옳다는 것을 바로 보여준다.
[핵심 정리] [핵심1] 서로소 ⇔ 최대공약수가 1. [핵심2] 서로소가 아니라고 해서 두 수가 소수이거나 짝수 성질을 갖는다고 단정할 수 없으며, 오직 '공통 소인수가 존재한다'는 것만 확실하다.
정답: 2

이 문제는 서로소의 정의를 이용해 특정 범위 안에서 조건을 만족하는 수의 개수를 세는 능력을 묻고 있다.
[풀이] 14=2×7이므로 14와 서로소가 아닌 수는 2의 배수이거나 7의 배수인 수이다. 1부터 20까지 2의 배수는 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20으로 10개, 7의 배수는 7,14로 2개이다. 이 중 14는 2의 배수이면서 동시에 7의 배수이므로 중복 제외하면 2의 배수 또는 7의 배수인 수는 10+2-1=11개이다. 따라서 14와 서로소인 수는 20-11=9개이다. (직접 세어보면 1,3,5,9,11,13,15,17,19로 정확히 9개이다.)
[오답분석]
② 10: 7의 배수를 전혀 제외하지 않고 2의 배수(10개)만 뺀 경우(20-10=10)로, 7의 배수 중 14의 배수가 아닌 7을 놓친 것이다.
③ 8: 14를 중복 제거하는 과정에서 실수로 하나를 더 빼버린 경우이다.
④ 7: 2의 배수와 7의 배수를 중복 없이 세지 않고 단순히 10+2=12를 빼서 20-12=8을 8로도 9로도 아닌 값으로 잘못 계산하다가 추가 실수를 한 경우이다.
⑤ 6: 소수만 서로소라고 착각하여 1부터 20까지의 소수 개수(2,3,5,7,11,13,17,19→8개)에서 임의로 더 줄인 경우이다.
[다른 풀이] 1부터 20까지 수를 하나씩 나열하며 2의 배수나 7의 배수를 지워나가면 남는 수는 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19로 9개임을 직접 확인할 수 있다.
[핵심 정리] [핵심1] 14와 서로소가 아닌 수는 14의 소인수(2 또는 7)를 하나라도 가진 수이다. [핵심2] 배수의 개수를 셀 때 두 조건을 모두 만족하는 수(공배수)는 중복해서 세지 않도록 반드시 한 번 빼주어야 한다.
정답: 1

84 = 2×42 = 2×2×21 = 2×2×3×7 = 2²×3×7
서로 다른 소인수는 2, 3, 7로 모두 3개이다.

핵심 정리
[핵심 1] "소인수의 개수"와 "소인수분해의 지수의 합"을 혼동하지 않도록 주의한다.
2²×3×7 에서 지수의 합은 2+1+1=4이지만, 서로 다른 소인수의 개수는 3개이다.

정답: 4

[보강 설명] 문제에서 사용한 핵심 성질을 한 번 더 확인하고, 구한 값을 원래 조건에 대입하여 식이나 도형의 조건이 모두 성립하는지 검산한다. 계산 과정에서는 부호, 단위, 대응 관계를 따로 점검한다.
정답: 4

[검산 확장] 사용한 성질의 적용 조건을 다시 확인한 뒤, 구한 값을 원래 문제에 대입해 검산한다. 수식은 역연산과 직접 대입으로, 도형은 각과 길이의 관계로, 통계는 전체 도수와 비율의 합으로 결과를 확인한다. 계산이 맞더라도 문제의 조건을 빠뜨리면 오답이 될 수 있으므로 마지막에 조건을 하나씩 다시 대조한다.
정답: 4

이 문제는 거듭제곱으로 표현된 수의 실제 값을 계산하는 능력을 묻고 있다.
[풀이] 먼저 각 거듭제곱을 각각 계산한다. 2³=2×2×2=8, 3²=3×3=9이다. 이제 두 값을 곱하면 2³×3²=8×9=72이다.
[오답분석]
② 17: 2³=8과 3²=9를 곱하지 않고 더해버린 경우(8+9=17)이다. 거듭제곱 사이의 ×는 곱셈이지 덧셈이 아니다.
③ 36: 밑을 먼저 곱한 뒤(2×3=6) 지수 2를 적용한 경우, 즉 (2×3)²으로 잘못 계산한 값이다. 지수는 각각의 밑에만 적용된다.
④ 48: 2³ 대신 2⁴(=16)으로 잘못 계산한 뒤 3을 곱한 값(16×3=48)이다.
⑤ 24: 3²을 3으로(지수를 무시하고) 계산해 2³×3=8×3=24로 잘못 계산한 값이다.
[다른 풀이] 8×9는 8×9=8×10-8=80-8=72로 암산할 수도 있다.
[핵심 정리] [핵심1] 거듭제곱이 섞인 곱셈식은 각 거듭제곱을 먼저 값으로 계산한 후 곱한다. [핵심2] (a×b)ⁿ ≠ aⁿ×bᵐ (지수가 다르면 절대 묶어서 계산하면 안 된다).
정답: 1

이 문제는 두 종류의 물건을 각각 남김없이 똑같이 나누어 줄 수 있는 최대 인원을 구하려면 두 개수의 최대공약수를 이용해야 함을 실생활 상황에 적용하는 능력을 묻고 있다.
[풀이] 학생 수는 48과 60을 모두 나누어떨어지게 하는 공약수여야 하며, 최대한 많은 학생에게 나누어 주려면 최대공약수를 구해야 한다. 48=2⁴×3, 60=2²×3×5이므로 최대공약수는 2²×3=12이다. 따라서 최대 12명의 학생에게 나누어 줄 수 있다(이때 한 학생당 사과 48÷12=4개, 배 60÷12=5개씩 받는다).
[오답분석]
② 6: 48과 60의 공약수이지만 최대공약수가 아니므로 더 많은 학생에게 나누어 줄 수 있는데도 적게 계산한 경우이다.
③ 4: 마찬가지로 공약수이지만 최대는 아니다.
④ 24: 48의 약수이지만 60의 약수는 아니다(60÷24는 나누어떨어지지 않음). 사과의 개수만 보고 정한 잘못된 값이다.
⑤ 108: 48+60=108로, 최대공약수를 구해야 하는데 두 수를 더해버린 완전히 다른 연산의 결과이다.
[다른 풀이] 48의 약수: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 / 60의 약수: 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 중 공통된 가장 큰 수를 찾으면 12임을 확인할 수 있다.
[핵심 정리] [핵심1] 여러 물건을 남김없이 똑같이 나누어 줄 수 있는 최대 인원(또는 묶음 수)은 각 물건 개수의 최대공약수이다. [핵심2] '최대한 많이/크게'라는 표현이 실생활 문제에 나오면 최대공약수를 이용한다.
정답: 1

이 문제는 소수(1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수)를 판별하는 능력을 묻고 있다.
[풀이] 선택지를 하나씩 나누어 보며 약수를 확인한다. 21=3×7(합성수), 29는 2,3,4,5로 나누어보아도 나누어떨어지지 않고 1과 29로만 나누어지므로 소수, 33=3×11(합성수), 51=3×17(합성수), 91=7×13(합성수)이다. 따라서 소수는 29뿐이다.
[오답분석]
① 21: 3×7로 소인수분해되어 약수가 1,3,7,21로 4개이므로 합성수이다.
③ 33: 3×11로 소인수분해되므로 합성수이다.
④ 51: 3×17로 소인수분해되므로 합성수이다.
⑤ 91: 7×13으로 소인수분해되므로 합성수이다. 91을 7의 배수가 아니라고 착각하면 소수로 오인하기 쉽다.
[다른 풀이] 각 수를 2,3,5,7(그 수의 제곱근 이하의 소수)로 차례로 나누어 보아 하나도 나누어떨어지지 않으면 소수이다. 29는 5×5=25<29<36=6×6이므로 2,3,5로만 확인하면 충분하다.
[핵심 정리] [핵심1] 소수인지 확인할 때는 그 수의 제곱근 이하의 소수들로만 나누어보면 된다. [핵심2] 끝자리가 1인 수라고 무조건 소수는 아니다(21, 51처럼 합성수인 경우도 많다).
정답: 2

이 문제는 실제 자연수를 직접 소인수분해한 뒤 약수의 개수 공식을 적용하는 전체 과정을 확인하고 있다.
[풀이] 108을 소인수분해하면 108=2²×3³이다(108=4×27=2²×3³). 약수의 개수 공식에 따라 (2+1)×(3+1)=3×4=12(개)이다.
[오답분석]
② 7: (2+1)과 (3+1)을 곱하지 않고 더한 경우이다(3+4=7).
③ 6: 지수 2와 3을 그대로 곱한 경우이다(2×3=6).
④ 9: 한쪽에만 1을 더한 경우이다((2+1)×3=9).
⑤ 13: (2+1)×(3+1)을 계산한 뒤 실수로 1을 더한 경우이다.
[다른 풀이] 108의 약수를 직접 나열하면 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108로 모두 12개임을 확인할 수 있다.
[핵심 정리] [핵심1] 먼저 정확한 소인수분해식을 구한 뒤에 공식을 적용해야 한다. [핵심2] 108=2²×3³처럼 지수가 다른 경우 각 지수에 1을 더한 값을 서로 곱한다.
정답: 1