중1 수학 작도와 합동 예상문제

[개념] 작도 도구 각각의 정확한 용도를 이해하는 문제이다.

[풀이] 작도에서 자의 용도는 오직 '두 점을 지나는 직선(또는 선분, 반직선)을 긋는 것'뿐이다. 자에 눈금이 있더라도 그 눈금으로 길이를 재는 행위는 작도에서 허용되지 않는다. 반면 컴퍼스는 원이나 호를 그리는 본래 기능 외에도, 두 다리의 벌어진 정도를 고정하면 그 길이를 다른 위치로 그대로 옮길 수 있어 '길이를 옮기는 도구'로도 사용된다. 이때 컴퍼스로 옮긴 길이는 처음 선분의 길이와 정확히 같다(호의 반지름이 곧 옮긴 선분의 길이이므로). ①, ②, ③, ⑤는 모두 옳은 설명이고, ④는 '자로 길이를 잰다'는 표현이 작도의 정의에 어긋나므로 옳지 않은 설명이다.

[오답분석] ① 자의 기본 기능(직선 긋기)에 대한 옳은 설명이다. ② 컴퍼스의 기본 기능(원·호 그리기)에 대한 옳은 설명이다. ③ 컴퍼스로 선분의 길이를 옮기는 기능에 대한 옳은 설명이다. ⑤ 컴퍼스로 옮긴 길이가 원래 길이와 같다는 것은 작도가 성립하는 핵심 원리이므로 옳다.

[다른 풀이] '자 = 눈금 없이 직선만, 컴퍼스 = 원(호) + 길이 이동' 이 두 문장만 기억하면 ④가 '자로 길이를 잰다'고 했으므로 바로 오류를 찾을 수 있다.

[핵심 정리] [자는 직선을 긋는 용도로만 사용, 길이를 재지 않는다][컴퍼스는 원·호를 그리거나 길이를 옮기는 데 사용한다]
정답: 4

[개념] 삼각형의 세 가지 합동조건(SSS, SAS, ASA) 중 SAS의 정확한 정의를 확인하는 문제이다.

[풀이] SAS합동은 'Side-Angle-Side'의 줄임말로, 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 그 두 변이 이루는 끼인각의 크기가 같을 때 성립하는 합동조건이다. 이는 ②의 설명과 정확히 일치한다.

[오답분석] ① 세 변의 길이가 각각 같은 것은 SSS합동의 조건이다. ③ 한 변의 길이와 그 양 끝각이 같은 것은 ASA합동의 조건이다. ④ 세 각의 크기가 각각 같은 것(AAA)은 도형의 모양은 같게 하지만(닮음) 크기까지 같다고 보장하지는 못하므로 합동조건이 아니다. ⑤ 끼인각이 아닌 변의 길이가 같은 조건(AAS 형태를 잘못 서술한 것에 가까움)은 SAS의 정의와 다르다 — SAS는 반드시 '끼인각'이어야 한다.

[다른 풀이] 'SAS'라는 글자 순서 자체가 변(S)-각(A)-변(S) 순서로 나열되어 있다는 것을 기억하면, 가운데(A)에 해당하는 각이 양옆 두 변(S, S) 사이에 끼인 각이어야 한다는 것을 직관적으로 알 수 있다.

[핵심 정리] [SAS합동: 대응하는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같을 때 성립][SSS는 세 변, ASA는 한 변과 그 양 끝각이 같을 때 성립]
정답: 2

[개념] 작도의 뜻을 정확히 알고 있는지 묻는 문제이다.

[풀이] 중학교 수학에서 '작도(作圖)'는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 말한다. 이때 자는 두 점을 잇는 직선(또는 선분, 반직선)을 긋는 데에만 사용하고, 길이를 재는 데는 사용하지 않는다. 컴퍼스는 원이나 호를 그리는 데 사용하며, 동시에 주어진 선분의 길이를 다른 곳으로 옮기는 데에도 사용한다. 따라서 눈금 없는 자와 컴퍼스만 사용한다는 ①이 작도의 정의로 옳다.

[오답분석] ② 각도기와 삼각자는 작도에서 사용할 수 없는 도구이다(작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 허용). ③ 눈금자로 길이를 재거나 각도기로 각을 재는 것은 작도가 아니라 '측정'이다. 작도에서는 자에 눈금이 있어도 그 눈금을 사용해 길이를 재면 안 된다. ④ 컴퍼스만 사용한다는 설명은 자를 사용하는 경우(직선 긋기)를 빠뜨렸으므로 불완전하다. ⑤ 각도기는 작도에서 사용이 허용되지 않는 도구이므로 옳지 않다.

[다른 풀이] 교과서 정의를 그대로 암기: '작도 = 눈금 없는 자 + 컴퍼스'라는 두 단어만 기억해도 이 문제는 바로 해결된다.

[핵심 정리] [작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 사용][자=직선을 그을 때, 컴퍼스=원(호)을 그리거나 길이를 옮길 때 사용]
정답: 1

[풀이전략] 수직이등분선의 정의와 성질(선 위의 점은 양 끝점에서 같은 거리)을 정확히 이해하고 있는지 확인하는 문제이다.

[단계별 논리] 선분 AB의 수직이등분선 l은 정의상 (1) AB에 수직이며 (2) AB의 중점을 지나는 직선이다. l과 AB의 교점 M은 바로 그 중점이므로 AM=BM이 성립하고, 정의에 따라 l⊥AB이다. 또한 l 위의 임의의 점 P에서 두 삼각형 △PMA와 △PMB를 생각하면 AM=BM(수직이등분선의 성질), ∠PMA=∠PMB=90°(l⊥AB), PM은 공통이므로 SAS합동이 되어 PA=PB가 항상 성립한다. 그런데 ③는 'M은 AB의 중점이 아니다'라고 하였으므로, 수직이등분선의 정의(중점을 지남)에 정면으로 위배되는 거짓 설명이다. 따라서 정답은 ③이다.

[오답분석] ⑤ 수직이등분선의 정의 자체가 중점을 지나는 것이므로 AM=BM은 참이다. ① l⊥AB는 수직이등분선의 정의에 포함되므로 참이다. ② 앞서 설명한 SAS합동(△PMA≡△PMB)에 의해 항상 성립하는 참인 성질이다. ④ 작도 과정에서 두 원의 반지름이 서로 다르면 교점이 AB의 수직이등분선 위에 놓이지 않으므로 반드시 같아야 하고, 두 원이 만나려면 반지름이 AB의 절반보다 커야 하므로 참이다.

[다른 풀이] 정의를 거꾸로 적용해도 된다. '수직이등분선'이라는 용어 자체에 '수직'과 '이등분(중점을 지남)'이라는 두 가지 성질이 모두 담겨 있으므로, M이 중점이 아니라는 진술은 용어의 정의와 직접 모순된다.

[핵심정리] [수직이등분선은 선분에 수직이며 그 중점을 지나는 직선이다][수직이등분선 위의 모든 점은 선분의 두 끝점으로부터 같은 거리에 있다(PA=PB)]

정답: 3

[풀이전략] 각의 작도에서 사용되는 여러 길이(반지름, 현의 길이)가 서로 어떤 관계에 있는지를 정확히 구분할 수 있는지를 확인하는 문제이다.

[단계별 논리] 표준적인 각의 작도는 점 O를 중심으로 원을 그려 두 변과의 교점 M, N을 잡고, 점 O'를 중심으로 '같은 반지름'의 원을 그려 M'을 잡은 뒤, 컴퍼스로 MN의 길이를 재어 M'을 중심으로 그 반지름의 원을 그려 N'을 구하는 순서로 진행된다. 이 작도의 원리는 OM=O'M', ON=O'N', MN=M'N'이 성립하도록 하여 △OMN≡△O'M'N'(SSS합동)이 되게 만드는 것이므로, 두 삼각형이 합동이면 대응각인 ∠MON=∠M'O'N'도 같아진다. 그런데 M'N'의 길이는 MN의 길이와 같아야 하는 것이지, OM의 길이와 같을 이유는 전혀 없다(OM은 반지름, MN은 현의 길이로 서로 다른 선분이며 일반적으로 길이가 다르다). 따라서 ④가 옳지 않은 설명이다.

[오답분석] ① 두 원의 반지름이 같아야 OM=O'M', ON=O'N'이 보장되므로 옳은 설명이다. ② 이 작도의 원리 자체가 SSS합동을 이용하는 것이므로 옳다. ③ 각의 크기와 관계없이 항상 같은 절차(원 그리기 → 길이 옮기기)로 작도할 수 있으므로 옳다. ⑤ 반직선 O'X' 위에 작도하므로 새 각의 꼭짓점은 당연히 O'이다.

[다른 풀이] 구체적인 예로 확인하면 빠르다. 만약 반지름 OM=5cm인 원을 그렸는데 ∠XOY=30°라면 현의 길이 MN은 5cm보다 훨씬 짧다(반지름보다 현이 항상 짧거나 같다). 이처럼 반지름과 현의 길이가 다른 값이 될 수 있는 구체적 예를 떠올리면 ④가 항상 옳다고 할 수 없음을 바로 확인할 수 있다.

[핵심정리] [각의 작도의 핵심은 반지름(OM, ON)과 현의 길이(MN)를 구분하는 것이다][반지름은 임의로 정해도 되지만, 두 번 사용하는 반지름은 서로 같아야 한다]

정답: 4

[풀이전략] 주어진 조건이 '변에 대한 정보'인지 '각에 대한 정보'인지를 정확히 구분하여 알맞은 합동조건의 이름을 고른다.

[단계별 논리] 문제에서 주어진 조건은 AB=DE, BC=EF, CA=FD로, 모두 대응하는 변의 길이에 대한 정보이며 각에 대한 정보는 전혀 없다. 삼각형의 세 변의 길이가 대응하는 세 변과 각각 같으면 두 삼각형의 모양과 크기가 하나로 결정되어 합동이 되는데, 이를 SSS합동이라 한다. 따라서 주어진 조건만으로 △ABC≡△DEF (SSS합동)라고 판단할 수 있으므로 정답은 ④이다.

[오답분석] ⑤ SAS합동을 말하려면 '끼인각이 같다'는 각에 대한 조건이 추가로 필요한데 이 문제에는 각 정보가 전혀 없으므로 SAS를 근거로 들 수 없다. ① ASA합동 역시 각에 대한 조건이 필요하므로 주어진 조건만으로는 해당하지 않는다. ② 세 변의 길이가 모두 대응하여 같다는 것은 SSS합동의 조건을 완전히 만족하는 것이므로 '알 수 없다'는 것은 틀린 설명이다. ③ 변의 길이 조건만으로 세 각이 같다고 결론지을 근거가 없고, 'AAA합동'이라는 조건 자체도 존재하지 않는다.

[다른 풀이] 자와 컴퍼스로 세 변의 길이를 그대로 옮겨 삼각형을 작도하면 항상 합동인 삼각형 하나만 만들어진다는 사실(SSS 작도의 유일성)을 떠올리면, 세 변의 길이만으로 합동이 보장됨을 직관적으로 이해할 수 있다.

[핵심정리] [대응하는 세 변의 길이가 각각 같으면 SSS합동이다][합동조건의 이름을 고를 때는 주어진 조건이 변에 대한 것인지 각에 대한 것인지부터 구분한다]

정답: 4

[개념] 작도에서 허용되는 도구가 무엇인지 구별하는 문제이다.

[풀이] 작도에 사용할 수 있는 도구는 눈금 없는 자(ㄱ)와 컴퍼스(ㄴ) 두 가지뿐이다. 각도기(ㄷ)는 각의 크기를 직접 측정하는 도구이므로 작도에 사용할 수 없다. 눈금자(ㄹ)는 눈금으로 길이를 직접 재는 용도로 쓰면 작도의 정의에 어긋나므로 사용할 수 없다(눈금 없는 자만 가능). 삼각자(ㅁ) 역시 미리 정해진 각(30°, 45°, 60°, 90° 등)을 그대로 이용해 그리는 도구이므로 작도 도구가 아니다. 따라서 작도에 사용할 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ뿐이므로 정답은 ①이다.

[오답분석] ② ㄷ(각도기)을 포함하여 틀렸다. ③ ㄹ(눈금자)을 포함하여 틀렸다. ④ ㄴ만 옳고 ㄷ, ㅁ은 작도 도구가 아니므로 틀렸다. ⑤ 모든 도구를 포함하여 틀렸다(작도는 두 가지 도구만 허용).

[다른 풀이] '눈금을 사용해서 직접 길이나 각을 재는 도구'는 모두 제외한다고 기억하면 각도기, 눈금자, 삼각자를 한 번에 걸러낼 수 있다.

[핵심 정리] [작도 허용 도구 = 눈금 없는 자, 컴퍼스][각도기·눈금자(측정용)·삼각자는 작도에 사용 불가]
정답: 1

[개념] 평행선의 엇각과 SAS합동을 함께 이용해 미지의 각을 구하는 문제이다.

[풀이] AB∥DC이고 BC가 두 평행선을 가로지르는 transversal이므로, 엇각의 성질에 의해 ∠ABC=∠DCB=55°이다. 이제 △ABC와 △DCB를 비교하면 AB=DC(주어짐), ∠ABC=∠DCB(엇각, 55°로 같음), BC는 공통이므로 △ABC≡△DCB(SAS합동)이다. 대응 관계는 A↔D, B↔C, C↔B이므로, ∠ACB(△ABC에서 C의 각)의 대응각은 ∠DBC(△DCB에서 B의 각)이다. 따라서 ∠DBC = ∠ACB = 48°이다.

[오답분석] ② 55°는 ∠ABC(대응각 ∠DCB)의 값을 그대로 가져온 오답으로, ∠DBC와는 다른 각이다(∠DCB와 ∠DBC를 혼동). ③ 13°는 문제에 주어진 AC=13cm라는 길이 값을 각의 크기로 착각하여 그대로 가져온 오답이다. ④ 42°는 90°-48°를 계산한 값으로, 이 문제와 무관한 계산에서 나온 오답이다. ⑤ 77°는 180°-55°-48°를 계산(△ABC의 남은 각 ∠BAC)한 값으로, ∠BAC와 ∠DBC를 혼동한 오답이다.

[다른 풀이] 대응 관계 A-D, B-C, C-B를 표로 정리하면 ∠A↔∠D, ∠B(=∠ABC)↔∠C(=∠DCB), ∠C(=∠ACB)↔∠B(=∠DBC)가 명확해지므로, 표를 만들어 대조하는 방식으로도 실수 없이 ∠DBC=48°를 구할 수 있다.

[핵심 정리] [평행선과 그 사이를 지나는 선분이 만드는 엇각은 크기가 같다][AB=DC, 엇각 ∠ABC=∠DCB, BC 공통 → SAS합동, 대응 순서에 유의해 대응각을 찾는다]
정답: 1