중1 수학 통계적 문제해결 예상문제

[개념] 광고 등에서 제시하는 통계 자료를 비판적으로 해석하는(표본의 대표성 점검) 문제이다.

[풀이] '10명 중 9명이 만족했다'는 문구는 표본의 크기가 단 10명에 불과하다. 이렇게 작은 표본은 우연히 만족도가 높은 사람들만 뽑혔을 가능성이 있어, 전체 소비자(모집단)의 실제 만족도를 대표한다고 보기 어렵다. 따라서 이러한 광고 문구는 표본이 얼마나 크고 어떻게 뽑혔는지 확인하지 않은 채 그대로 믿어서는 안 된다.

[오답 분석]
② 가격은 이 광고 문구(만족도 90%)가 신뢰할 수 있는지 여부와 직접적인 관련이 없다.
③ 광고 문구가 '항상 거짓'이라는 것은 근거 없는 지나친 일반화이다. 통계적으로 문제가 되는 것은 표본이 작고 편향되었을 가능성이지, 무조건 거짓이라는 것이 아니다.
④ 치약에 대한 만족 여부는 '만족한다/만족하지 않는다'로 응답을 받아 통계적으로 정리할 수 있는 명확한 대상이므로 이 지적은 옳지 않다.
⑤ 그래프를 제시하지 않았다는 것 자체가 광고 신뢰성의 핵심 문제는 아니다. 핵심은 표본의 크기와 대표성이다.

[참고] 신뢰할 수 있는 통계 자료인지 판단할 때는 '표본의 크기가 충분히 큰가', '표본이 어떻게(무작위로) 뽑혔는가'를 함께 확인하는 습관이 필요하다.

[핵심 정리] [핵심1] 표본의 크기가 지나치게 작으면 모집단 전체를 대표하기 어렵다. [핵심2] 광고나 뉴스의 통계 수치를 접할 때는 표본의 크기와 추출 방법을 확인한 뒤 신뢰 여부를 판단해야 한다.

정답: 1

[풀이전략] 자료 정리 및 분석 단계는 '이미 수집된 자료'를 표·그래프로 가공하고 그 안에서 특징이나 대푯값을 찾는 활동이다. 반면 조사를 어떻게 할지 계획하는 것은 그보다 앞선 단계에 해당한다.

[선택지별 판단]
① "수집한 자료를 표로 정리한다" → 자료 정리 및 분석 단계에 해당한다.
② "막대그래프나 원그래프로 나타낸다" → 자료 정리 및 분석 단계에 해당한다.
③ "그래프의 모양에서 특징을 파악한다" → 정리된 자료에서 특징을 찾는 활동이므로 자료 정리 및 분석 단계에 해당한다.
④ "조사 대상을 몇 명으로 할지, 어떻게 조사할지 계획을 세운다" → 이는 아직 자료를 모으기 전에 '어떻게 자료를 수집할지'를 정하는 활동으로, 문제 설정 및 자료 수집 계획 단계에 해당한다. 자료가 이미 있어야 가능한 '정리 및 분석'과는 다른 단계이다.
⑤ "도수분포표를 이용해 평균이나 대푯값을 구한다" → 정리된 자료를 이용해 수치를 계산하는 활동이므로 자료 정리 및 분석 단계에 해당한다.

[핵심정리] '조사 계획을 세우는 것'(무엇을, 몇 명을, 어떻게 조사할지 정하는 것)은 자료를 모으기 이전 단계의 활동이므로, 이미 모은 자료를 가공하는 '자료 정리 및 분석' 단계와 혼동하지 않아야 한다.

정답: 4

[개념] 조사 목적에 맞는 좋은 통계 질문을 실제 상황에서 선택하는 문제이다.

[풀이] ②는 '지난 1주일'이라는 명확한 기간과 '0일~7일 중 선택'이라는 측정 가능한 응답 범위를 제시하고 있어, 응답을 모으면 곧바로 표나 그래프로 정리하여 아침 식사 습관(빈도)을 분석할 수 있는 좋은 통계 질문이다.

[오답 분석]
① 서술형으로 이유를 설명하라는 질문은 정해진 범주로 응답을 모아 통계적으로 정리하기 어려운 개방형 질문으로, 통계 질문으로 적절하지 않다.
③ '~안 되지 않나요?'라는 표현은 '그렇다'는 답을 유도하는 편향된 질문으로, 응답자의 실제 습관을 왜곡할 수 있다.
④ 좋아하는 연예인을 묻는 질문은 '아침 식사 습관'이라는 조사 목적과 관련이 없는 질문이다.
⑤ '좋다/나쁘다'는 아침 식사를 '얼마나 자주 하는지'라는 습관을 알아보려는 목적에 맞지 않는 모호한 이분법적 질문으로, 실제 식사 빈도를 파악할 수 없다.

[참고] 통계 질문을 만들 때는 '무엇을 알고 싶은가(목적)'와 '그 답을 어떤 형태의 자료로 얻을 것인가(측정 방법)'를 함께 고려해야 한다.

[핵심 정리] [핵심1] 좋은 통계 질문은 조사 목적과 직접 관련되고, 기간·범위가 명확하며, 정해진 형태로 응답을 모을 수 있어야 한다. [핵심2] 유도 질문, 개방형 서술 질문, 주제와 무관한 질문은 통계 질문으로 부적절하다.

정답: 2

[풀이전략] '결과 해석' 단계는 정리·분석된 자료(표, 그래프, 대푯값 등)를 근거로 처음 세운 탐구 문제에 대한 답을 도출하는 마지막 단계이다. 각 선택지가 어느 단계의 활동인지 구분한다.

[선택지별 판단]
④ "그래프의 특징을 바탕으로 결론을 이끌어 내고, 처음 문제에 대한 답을 정리한다" → 정리된 자료를 근거로 최종 결론을 내리는 활동이므로 결과 해석 단계에 정확히 해당한다.
① "조사 대상과 조사 방법을 정한다" → 탐구를 어떻게 진행할지 계획하는 활동으로, 문제 설정 단계(또는 자료 수집 계획)에 해당한다.
② "원그래프를 그려 나타낸다" → 수집한 자료를 그래프로 가공하는 활동이므로 자료 정리 및 분석 단계이다.
③ "설문 문항을 작성한다" → 자료를 모으기 위한 준비 활동으로 자료 수집(또는 그 준비) 단계에 해당한다.
⑤ "도수분포표를 만든다" → 원자료를 계급별로 정리하는 활동이므로 자료 정리 및 분석 단계이다.

[핵심정리] 결과 해석 단계의 핵심은 '정리된 자료 → 결론 도출 → 처음 질문에 대한 답변'으로 이어지는 것이며, 자료를 표·그래프로 만드는 것 자체는 이전 단계(자료 정리 및 분석)에 해당한다는 점을 구분해야 한다.

정답: 4

[개념] 자료를 표(도수분포표)로 정리하는 목적과 장점을 이해하고 있는지 확인하는 문제이다.

[풀이] 흩어져 있는 많은 자료를 일정한 계급으로 나누어 도수분포표로 정리하면, 어느 계급에 자료가 많이 몰려 있는지, 자료가 어떻게 퍼져 있는지 등 자료 전체의 분포와 특징을 한눈에 파악할 수 있게 된다. 이것이 도수분포표를 만드는 가장 중요한 목적이자 장점이다.

[오답 분석]
② 도수분포표는 자료를 일정한 범위(계급)로 묶어서 나타내므로, 그 계급 안에 속한 개별 자료의 정확한 값은 알 수 없게 된다. 즉 개별 값의 일부 정보는 오히려 손실된다.
③ 도수분포표로 정리하는 것은 이미 수집된 자료를 다루는 방법일 뿐, 표본조사 자체를 전수조사로 바꾸는 것과는 전혀 관련이 없다.
④ 도수분포표 작성은 자료 수집이 끝난 뒤에 이루어지는 정리 작업으로, 조사 기간과는 관련이 없다.
⑤ 표본의 대표성은 표본을 어떻게 뽑았는지(계획 수립·자료 수집 단계)에 따라 결정되는 문제이며, 자료를 표로 정리하는 방식과는 관련이 없다.

[참고] 도수분포표를 만든 뒤에는 이를 히스토그램 등 그래프로 나타내면 분포의 모양을 시각적으로 더욱 쉽게 파악할 수 있다.

[핵심 정리] [핵심1] 도수분포표는 흩어진 자료를 계급별로 정리하여 전체 분포와 특징을 한눈에 파악할 수 있게 해 준다. [핵심2] 다만 계급으로 묶는 과정에서 개별 자료의 정확한 값은 알 수 없게 된다는 한계가 있다.

정답: 1

[개념] 설문조사, 관찰, 실험, 문헌조사의 정의를 실제 사례에 정확히 적용할 수 있는지 확인하는 문제이다.

[풀이] ⑤에서 '통계청 누리집에서 이미 발표된 자료를 검색'하는 것은 조사자가 직접 대상을 눈으로 살펴보고 기록하는 '관찰'이 아니라, 이미 만들어진 기존 자료(문헌)를 찾아 활용하는 '문헌조사'에 해당한다. 따라서 ⑤는 조사 방법과 예가 잘못 짝지어진 것이다.

[오답 분석]
① 질문지를 나누어 주고 답을 받는 것은 설문조사의 대표적인 예로 옳게 짝지어졌다.
② 대상의 행동이나 상태를 직접 눈으로 살펴보고 기록하는 것은 관찰의 정의에 맞게 옳게 짝지어졌다.
③ 조건(물의 양)을 인위적으로 다르게 설정하고 그 결과(성장 정도)를 측정하는 것은 실험의 정의에 맞게 옳게 짝지어졌다.
④ 이미 존재하는 기상청 발표 자료를 찾아보는 것은 문헌조사의 정의에 맞게 옳게 짝지어졌다.

[참고] 관찰은 '현재 진행되는 상황을 직접' 살펴보는 것이고, 문헌조사는 '이미 만들어져 있는 자료(책, 통계 발표 자료, 인터넷 자료 등)를 찾아보는 것'이라는 차이를 기억하면 헷갈리지 않는다.

[핵심 정리] [핵심1] 설문조사는 질문지로, 관찰은 직접 살펴보는 방식으로, 실험은 조건을 통제하여, 문헌조사는 기존 자료를 찾아 자료를 수집한다. [핵심2] 이미 발표된 통계 자료를 검색하는 것은 관찰이 아니라 문헌조사이다.

정답: 5

[개념] 비율(%)로 제시된 통계가 실제 수치와 어떤 차이를 만들 수 있는지 비판적으로 해석하는 문제이다.

[풀이] 실제로 (3-2)÷2×100=50(%)이므로 '50% 증가'라는 계산 자체는 틀리지 않았다. 문제는 원래 건수(2건)가 매우 적은 상황에서는, 단 1건만 늘어나도 비율상으로는 50%라는 큰 증가율로 나타난다는 점이다. 이 경우 '50% 증가'라는 표현만 보면 마치 범죄가 크게 늘어난 것처럼 느껴지지만, 실제로는 1건이 늘어난 것에 불과하다. 따라서 비율과 함께 실제 건수(원자료)를 반드시 함께 확인해야 통계를 올바르게 해석할 수 있다.

[오답 분석]
② 계산이 (3-2)÷2×100=50(%)로 수학적으로는 정확하므로 '계산이 틀렸다'는 진술은 옳지 않다. 문제는 계산의 정확성이 아니라 해석의 방식에 있다.
③ 범죄 건수는 숫자로 셀 수 있는 명확한 자료이므로 통계로 충분히 다룰 수 있는 주제이다.
④ 증가율(%)만 보고 다른 정보 없이 항상 정확하다고 판단하는 것은 오히려 이 문제가 지적하는 바로 그 오류(원자료 확인 없이 비율만 믿는 것)에 해당한다.
⑤ 통계를 비판적으로 해석할 때는 조사 방법이나 기준이 작년과 올해 사이에 달라지지 않았는지도 함께 점검하는 것이 바람직하며, '전혀 고려할 필요가 없다'는 것은 옳지 않은 태도이다.

[참고] 이처럼 기준이 되는 값(원래 건수)이 작을 때는 작은 변화도 큰 비율(%)로 보일 수 있으므로, 뉴스나 광고에서 '몇 % 증가/감소'라는 표현을 볼 때는 항상 실제 수치(절대량)를 함께 확인하는 습관이 중요하다.

[핵심 정리] [핵심1] 기준값이 작을 때는 작은 변화도 비율상 크게 보일 수 있다. [핵심2] 비율(%)만 보고 판단하지 말고 실제 건수 등 원자료를 함께 확인해야 통계를 올바르게 해석할 수 있다.

정답: 1

[개념] 전수조사와 표본조사 중 어느 것이 더 적절한 상황인지 구별하는 문제이다.

[풀이] 전수조사는 모집단의 크기가 작아 모든 대상을 조사해도 시간과 비용 부담이 크지 않고, 정확한 결과가 필요할 때 적절하다. ①은 모집단이 우리 반 학생 25명으로 크기가 작고, 혈액형은 한 명씩 확인하는 데 큰 비용이나 시간이 들지 않으며 개개인의 정확한 값을 알 수 있으므로 전수조사가 적절하다.

[오답 분석]
② 전국 중학교 1학년 학생 전체는 모집단의 크기가 매우 커서 전수조사에는 막대한 시간과 비용이 들기 때문에 표본조사가 더 적절하다.
③ 건전지의 사용 가능 시간을 조사하려면 다 쓸 때까지 사용해 보아야 하는 파괴검사이므로, 10000개를 모두 조사(전수조사)하면 판매할 제품이 남지 않는다. 따라서 일부만 뽑아 조사하는 표본조사가 반드시 필요하다.
④ 우리나라 전체 시청자를 대상으로 하는 것은 현실적으로 전수조사가 불가능할 정도로 모집단이 크므로 표본조사(시청률 조사)를 사용한다.
⑤ 강물 전체의 오염 물질 양은 물리적으로 강물 전체를 다 검사하는 것이 불가능하므로 일부를 채취하는 표본조사를 사용한다.

[참고] 전수조사는 정확하지만 시간·비용이 많이 들고 때로는 불가능하거나 대상이 파괴되는 문제가 있고, 표본조사는 시간과 비용을 줄일 수 있지만 표본을 잘못 뽑으면 오차가 발생할 수 있다.

[핵심 정리] [핵심1] 모집단의 크기가 작고 정확성이 중요할 때는 전수조사가 적절하다. [핵심2] 모집단이 매우 크거나, 조사 대상이 파괴되거나, 물리적으로 전체 조사가 불가능한 경우에는 표본조사를 사용한다.

정답: 1