중1 수학 정비례와 반비례 예상문제

[핵심개념] 반비례 관계의 뜻: y가 x에 반비례한다는 것은 x와 y 사이의 관계식이 y=a/x (a는 0이 아닌 상수, xy=a) 꼴로 나타나는 것을 말한다.

[풀이] 선택지를 하나씩 y=a/x 꼴인지 확인한다.
① y=4x는 y=ax 꼴이므로 반비례가 아니라 정비례 관계이다.
② y=x-5는 상수항이 있는 일차식으로 정비례도 반비례도 아니다.
③ y=8/x는 a=8인 y=a/x 꼴이므로 반비례 관계이다. (정답)
④ y=2x+1은 상수항이 있는 일차식으로 정비례도 반비례도 아니다.
⑤ y=-3은 x에 관계없이 항상 -3이므로 반비례 관계가 아니다.

[오답분석] ①은 정비례 관계식을 반비례로 착각한 경우이다. ②, ④는 일차식을 반비례로 착각한 경우이다. ⑤는 상수함수를 반비례로 착각한 경우이다.

[다른 풀이] 반비례 관계식은 x와 y를 곱했을 때(xy) 항상 일정한 값(=a)이 나와야 한다. y=8/x는 xy=8로 일정하지만, 나머지 식들은 xy가 x에 따라 변하므로 반비례가 아니다.

[핵심 정리] [핵심1] 반비례 관계식은 반드시 y=a/x(a≠0) 꼴이다 [핵심2] xy의 값이 항상 일정하면 반비례 관계이다.
정답: 3

[핵심개념] 반비례 표에서 관계식 구하기: 표의 x와 y를 곱한 값(xy)이 항상 일정(=a)함을 이용해 관계식 y=a/x를 구한다.

[풀이] x=2, y=15이므로 a=xy=2×15=30이다. 다른 자료로 확인하면 5×6=30, 10×3=30으로 모두 일치한다. 따라서 관계식은 y=30/x이다.

[오답분석] ② y=x/30은 a=30을 분모가 아닌 분자의 자리에 잘못 놓아 반비례 관계를 거꾸로 세운 경우이다. ③ y=30x는 나눗셈이 아닌 곱셈으로 세워 정비례 형태로 잘못 쓴 경우이다. ④ y=x+13은 15-2=13이라는 뺄셈 관계로 착각한 경우이다. ⑤ y=17/x는 a를 15+2=17과 같이 곱셈이 아닌 덧셈으로 잘못 계산한 경우이다.

[다른 풀이] y=30/x에 x=5, x=10을 각각 대입하면 y=6, y=3이 되어 표의 값과 정확히 일치함을 확인할 수 있다.

[핵심 정리] [핵심1] 반비례 표에서는 x×y의 값이 항상 일정하다 [핵심2] 관계식을 세운 뒤 표의 다른 자료로 반드시 검산한다.
정답: 1

[핵심개념] 정비례 관계 판별: y=ax(a≠0) 꼴인지 각 식을 y=(상수)×x 형태로 정리해 확인한다.

[풀이] ㄱ. y=(2/3)x는 a=2/3인 y=ax 꼴이므로 정비례이다. ㄴ. y=5-x는 상수항 5가 있으므로 정비례가 아니다. ㄷ. xy=7을 정리하면 y=7/x로 반비례 관계이다. ㄹ. y=-x/4는 y=-(1/4)x로 a=-1/4인 y=ax 꼴이므로 정비례이다. ㅁ. y=x²은 x의 제곱이 포함되어 y=ax 꼴이 아니므로 정비례가 아니다. 따라서 정비례인 것은 ㄱ, ㄹ이다.

[오답분석] ① ㄱ,ㄴ은 ㄴ을 정비례로 착각한 경우(상수항이 있으면 정비례 아님)이다. ③ ㄴ,ㄷ은 ㄷ이 반비례임을 정비례로 혼동한 경우이다. ④ ㄷ,ㅁ은 반비례식과 이차식을 둘 다 정비례로 잘못 판단한 경우이다. ⑤ ㄹ,ㅁ은 ㅁ을 정비례로 착각한 경우(제곱항이 있으면 정비례 아님)이다.

[다른 풀이] 각 식에 x=0을 대입했을 때 y=0이 되는지로 1차 검사할 수 있다. ㄴ은 x=0일 때 y=5≠0, ㄷ은 x=0을 대입할 수 없음(반비례는 x≠0), ㅁ은 x=0일 때 y=0이지만 이차식이므로 정비례가 아니다. ㄱ, ㄹ만 x=0에서 y=0이면서 동시에 y=ax 꼴을 만족한다.

[핵심 정리] [핵심1] 정비례는 y=ax(a≠0) 꼴만 해당하며 상수항, 제곱항, 분모의 x는 모두 정비례가 아니다 [핵심2] xy=(상수) 꼴은 반비례 관계식이다.
정답: 2

[핵심개념] 반비례 관계 판별: xy=(0이 아닌 상수) 꼴, 즉 y=a/x(a≠0) 꼴인지 확인한다.

[풀이] ㄱ. y=9/x는 a=9인 y=a/x 꼴이므로 반비례이다. ㄴ. xy=-5를 정리하면 y=-5/x로 a=-5인 반비례 관계이다. ㄷ. y=x/7=(1/7)x는 y=ax 꼴이므로 정비례이다. ㄹ. y=4-x는 상수항이 있는 식으로 정비례도 반비례도 아니다. ㅁ. x/y=2를 정리하면 x=2y, 즉 y=(1/2)x로 y=ax 꼴이므로 정비례이다. 따라서 반비례인 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[오답분석] ② ㄱ,ㄷ은 ㄷ을 정비례가 아닌 반비례로 착각한 경우이다. ③ ㄴ,ㅁ은 ㅁ을 반비례로 착각한 경우로, x/y=2 형태를 xy=2로 잘못 읽은 함정이다. ④ ㄷ,ㄹ은 둘 다 반비례가 아닌데 반비례로 잘못 판단한 경우이다. ⑤ ㄹ,ㅁ도 마찬가지로 둘 다 반비례가 아니다.

[다른 풀이] 각 식을 xy=(상수) 형태로 정리했을 때 상수가 나오는지 확인한다. ㄱ은 xy=9, ㄴ은 xy=-5로 성립하지만, ㄷ은 xy=(1/7)x²로 x에 따라 값이 변하고, ㄹ은 xy=(4-x)x로 역시 x에 따라 변하며, ㅁ은 x=2y에서 xy=2y²로 x에 따라 값이 변하므로 모두 반비례가 아니다.

[핵심 정리] [핵심1] 반비례는 xy=(0이 아닌 상수) 꼴이어야 한다 [핵심2] x/y=(상수) 꼴은 y=ax 형태의 정비례로 정리되므로 반비례와 혼동하지 않는다.
정답: 1

[핵심개념] 정비례 관계의 뜻: y가 x에 정비례한다는 것은 x와 y 사이의 관계식이 y=ax (a는 0이 아닌 상수) 꼴로 나타나는 것을 말한다.

[풀이] 선택지를 하나씩 y=ax 꼴인지 확인한다.
① y=x+4는 상수항 4가 더해져 있으므로 y=ax 꼴이 아니다.
② y=5x는 a=5인 y=ax 꼴이므로 정비례 관계이다. (정답)
③ y=6/x는 y=a/x 꼴이므로 정비례가 아니라 반비례 관계이다.
④ y=-3x+2는 상수항 2가 더해져 있으므로 y=ax 꼴이 아니다.
⑤ y=7은 x의 값에 관계없이 y가 항상 7이므로 x와 y 사이에 정비례 관계가 성립하지 않는다.

[오답분석] ①, ④는 '상수항이 없어야 한다'는 조건을 놓친 경우이고, ③은 반비례 관계식을 정비례로 착각한 경우, ⑤는 x가 아예 식에 없는 상수함수를 정비례로 착각한 경우이다.

[다른 풀이] 각 식에서 x=0일 때 y=0이 되는지 확인해도 된다. 정비례 관계의 그래프는 반드시 원점을 지나므로 x=0을 대입했을 때 y=0이 아니면 정비례가 아니다. ①은 x=0일 때 y=4, ④는 y=2, ⑤는 y=7로 모두 0이 아니므로 정비례가 아님을 바로 확인할 수 있다.

[핵심 정리] [핵심1] 정비례 관계식은 반드시 y=ax(a≠0) 꼴이어야 한다 [핵심2] 상수항이 있거나 분모에 x가 있으면 정비례가 아니다.
정답: 2

[핵심개념] 반비례 관계식 구하기: y=a/x로 놓고 주어진 (x, y)를 대입해 a=xy를 구한다.

[풀이] y=a/x로 놓고 x=-4, y=5를 대입하면 5=a/(-4)이므로 a=5×(-4)=-20이다. 따라서 구하는 관계식은 y=-20/x이다.

[오답분석] ② y=20/x는 부호를 놓친 경우이다. ③, ④ y=∓(5/4)x는 반비례가 아니라 정비례 관계식처럼 a=y/x=5/(-4)를 계산해 잘못 세운 경우이다. ⑤ y=-x/20은 a=-20을 분자가 아닌 분모의 계수처럼 잘못 사용한 경우이다.

[다른 풀이] y=-20/x에 x=-4를 대입하면 y=-20/(-4)=5가 되어 주어진 조건과 일치함을 확인할 수 있다.

[핵심 정리] [핵심1] 반비례의 a는 xy(두 좌표의 곱)로 구한다 [핵심2] x, y 중 하나가 음수이면 a의 부호도 그에 따라 결정된다.
정답: 1

[핵심개념] 정비례 관계를 표로 나타내기: y=ax에서 x의 값이 1일 때의 y의 값이 바로 비례상수 a이다.

[풀이] x=1일 때 y=3이므로 a=3이다. 즉 관계식은 y=3x이다. 이 식이 표의 다른 값과도 맞는지 확인하면 x=3일 때 y=3×3=9, x=4일 때 y=3×4=12로 표와 일치한다. 따라서 x=2일 때 ㉮=3×2=6이다.

[오답분석] ① 4는 '㉮=x값+2'처럼 덧셈으로 착각한 경우, ② 5는 단순히 3과 9의 평균 부근 값을 어림잡은 경우, ④ 7은 9-2와 같은 임의의 계산 실수, ⑤ 8은 12-4와 같은 임의의 계산 실수에서 나올 수 있다.

[다른 풀이] x=3일 때 y=9이므로 비례상수 a=9/3=3으로 구해도 같은 결과를 얻는다. 표의 어느 두 값을 이용해도 a=3으로 일정해야 정비례 관계가 성립한다(9/3=12/4=3/1=3).

[핵심 정리] [핵심1] 정비례 표에서는 y÷x의 값이 항상 일정하며 이 값이 비례상수 a이다 [핵심2] 표의 한 쌍의 값만 알아도 a를 구해 나머지 빈칸을 모두 채울 수 있다.
정답: 3

[핵심개념] 정비례 관계식 구하기: y=ax로 놓고 주어진 (x, y)를 대입해 a=y÷x를 구한다. a가 분수가 되는 경우에도 방법은 동일하다.

[풀이] y=ax로 놓고 x=3, y=-2를 대입하면 -2=a×3이므로 a=-2/3이다. 따라서 구하는 관계식은 y=-(2/3)x이다.

[오답분석] ② y=(2/3)x는 부호를 놓친 경우이다. ③ y=-(3/2)x는 a=x/y로 x와 y를 바꾸어 계산한(역수를 취한) 경우이다. ④ y=(3/2)x는 부호와 역수를 모두 잘못 적용한 경우이다. ⑤ y=-6x는 나눗셈 대신 곱셈으로 a=x×y=3×(-2)=-6을 계산한 경우로, 반비례 관계식을 구하는 방법(a=xy)과 혼동한 것이다.

[다른 풀이] y=-(2/3)x에 x=3을 대입하면 y=-(2/3)×3=-2가 되어 주어진 조건과 일치함을 확인할 수 있다.

[핵심 정리] [핵심1] 정비례의 a는 y÷x, 반비례의 a는 x×y로 서로 다르다 [핵심2] a가 분수일 때는 약분하여 기약분수로 나타낸다.
정답: 1