중1 수학 자료의 정리와 해석 예상문제

이 문제는 주어진 원자료를 계급별로 분류하여 도수분포표를 작성하는 과정을 이해하는 문제이다.

[개념] 원자료를 도수분포표로 만들 때는 각 자료값이 어느 계급(구간)에 속하는지 하나씩 확인하여 해당 계급의 도수를 1씩 늘려가며 세어야 한다.

[풀이]
1단계: 자료 20개를 크기순으로 정렬하면 [8, 12, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 31, 33, 34, 36, 38, 41, 44, 47]이다.
2단계: 20점 이상 30점 미만인 값을 모두 찾으면 [21, 22, 24, 25, 27, 29]이다.
3단계: 이 계급에 속하는 자료는 모두 6개이므로 도수는 6(명)이다.

[오답 분석]
- 5: 바로 이전 계급(10~20)의 도수를 답한 경우이다.
- 5: 바로 다음 계급(30~40)의 도수를 답한 경우이다.
- 20: 해당 계급의 도수가 아니라 전체 자료의 개수를 답한 경우이다.
- 8: 자료를 세는 과정에서 실수로 2개를 더 세는 등 셈 실수를 한 경우이다.

[다른 풀이] 각 계급의 도수를 모두 구해 정리하면 0~10: 1명, 10~20: 5명, 20~30: 6명, 30~40: 5명, 40~50: 3명이 되고, 이 도수들을 모두 더하면 20로 전체 자료의 개수 20과 일치함을 검산할 수 있다.

핵심 정리: [핵심 1] 원자료를 계급별로 하나씩 분류하여 도수를 세면 도수분포표를 만들 수 있다 [핵심 2] 모든 계급의 도수를 더하면 전체 자료의 개수와 같아야 한다

정답: 2

이 문제는 상대도수의 뜻을 이용해 거꾸로 도수를 구하는 문제이다.

[개념] 상대도수 = (도수) ÷ (도수의 총합)이므로, 거꾸로 (도수) = (상대도수) × (도수의 총합)으로 구할 수 있다.

[풀이]
1단계: 전체 학생 25명 중 어떤 계급의 상대도수가 0.24이다.
2단계: 이 계급의 도수는 0.24 × 25 = 6(명)이다.

[오답 분석]
- 0.24: 도수가 아니라 상대도수 값을 그대로 답한 경우이다.
- 24: 상대도수를 백분율로 바꾼 숫자(24%)를 그대로 도수(명수)로 착각한 경우이다.
- 104.2: 상대도수를 곱하지 않고 나누어 계산한 실수이다.
- 9: 곱셈 과정에서 반올림 등 계산 실수를 한 경우이다.

[다른 풀이] 구한 도수 6명을 다시 전체 25명으로 나누면 6 ÷ 25 = 0.24로 문제에서 주어진 상대도수 0.24와 일치함을 검산할 수 있다.

핵심 정리: [핵심 1] 도수 = 상대도수 × 도수의 총합 [핵심 2] 상대도수는 항상 0 이상 1 이하의 값을 갖는다

정답: 5

이 문제는 평균, 중앙값, 최빈값의 성질을 정확히 이해하고 있는지 확인하는 문제이다.

[개념] 세 대푯값의 정의와 성질을 정확히 구분해야 한다. 특히 최빈값은 자료에 따라 하나도 없을 수도 있고(모든 값의 도수가 같은 경우), 두 개 이상일 수도 있다.

[풀이]
① 평균은 자료를 모두 더해 개수로 나눈 값이므로, 매우 크거나 작은 극단값이 있으면 그 값에 이끌려 크게 변한다. 옳은 설명이다.
② 자료의 개수가 짝수일 때 중앙값은 가운데 두 값의 평균으로 정의된다. 옳은 설명이다.
③ 최빈값은 도수가 가장 큰 값으로, 도수가 가장 큰 값이 두 개 이상이면 최빈값도 두 개 이상이 될 수 있다. 따라서 '항상 하나만 존재한다'는 설명은 옳지 않다.
④ 중앙값은 극단값의 영향을 거의 받지 않으므로, 극단값이 있는 자료에서는 평균보다 중앙값이 자료 전체를 더 잘 대표할 수 있다. 옳은 설명이다.
⑤ 자료의 개수가 홀수일 때 중앙값은 정렬된 자료에서 정확히 가운데(즉, (n+1)/2번째)에 위치한 값이다. 옳은 설명이다.

[오답 분석]
①, ②, ④, ⑤는 모두 평균·중앙값·최빈값의 성질에 대한 옳은 설명이므로 정답이 될 수 없다. 오직 ③만 '최빈값은 자료에 따라 여러 개일 수도, 없을 수도 있다'는 사실과 어긋난다.

[다른 풀이] 실제 자료 2, 2, 3, 3, 5를 예로 들면 2와 3이 각각 2번씩 나타나 최빈값이 2와 3, 두 개가 되므로 ③이 옳지 않은 설명임을 구체적인 예로도 확인할 수 있다.

핵심 정리: [핵심 1] 최빈값은 자료에 따라 없을 수도, 두 개 이상일 수도 있다 [핵심 2] 각 대푯값의 정의와 극단값에 대한 민감도 차이를 정확히 구분해야 한다

정답: 3

이 문제는 상대도수의 뜻과 계산 방법을 묻는 문제이다.

[개념] 상대도수는 전체 도수에 대한 각 계급의 도수의 비율이다. 즉, (어떤 계급의 상대도수) = (그 계급의 도수) ÷ (도수의 총합)이다.

[풀이]
1단계: 전체 학생 수(도수의 총합)는 40명이고, 어떤 계급의 도수는 8명이다.
2단계: 이 계급의 상대도수는 8 ÷ 40 = 0.2이다.

[오답 분석]
- 5: 도수의 총합을 도수로 나눈 것으로, 분자와 분모를 반대로 놓은 실수이다.
- 8: 상대도수가 아니라 도수 자체를 답한 경우이다.
- 0.5: 계산 과정에서 실수로 분모에 불필요한 숫자를 곱하여 나눈 경우이다.
- 0.3: 상대도수 값에 임의의 오차를 더해 어림잡아 답한 경우이다.

[다른 풀이] 상대도수를 백분율로 나타내면 0.2 × 100 = 20(%)로, 전체 학생 중 이 계급이 차지하는 비율이 20%임을 알 수 있다.

핵심 정리: [핵심 1] 상대도수 = (그 계급의 도수) ÷ (도수의 총합) [핵심 2] 상대도수에 100을 곱하면 백분율(%)이 된다

정답: 5

이 문제는 자료의 범위와 원하는 계급의 개수로부터 계급의 크기를 정하는 문제이다.

[개념] 도수분포표를 만들 때 계급의 크기는 대략 (자료의 범위) ÷ (계급의 개수)로 정한다. 이때 범위는 (최댓값) − (최솟값)이다.

[풀이]
1단계: 자료의 최댓값은 92, 최솟값은 38이므로 범위는 92 - 38 = 54이다.
2단계: 계급을 6개로 나누려고 하므로 계급의 크기는 54 ÷ 6 = 9(이)다.

[오답 분석]
- 54: 범위 54를 계급의 개수로 나누지 않고 그대로 답한 경우이다.
- 10: 계급의 개수를 6가 아니라 5로 잘못 사용하여 나눈 경우이다.
- 15: 범위 대신 최댓값 92만을 계급의 개수로 나눈 경우로, 최솟값을 빼는 것을 빠뜨렸다.
- 10: 나눗셈 과정에서 값을 1만큼 크게 잘못 계산한 경우이다.

[다른 풀이] 계급의 크기를 9로 하여 38부터 시작해 6번 더해 보면 38+9×6 = 92로, 최댓값 92를 포함하는 구간까지 정확히 나누어짐을 확인할 수 있다.

핵심 정리: [핵심 1] 계급의 크기는 대략 (자료의 범위) ÷ (계급의 개수)로 정한다 [핵심 2] 범위 = 최댓값 − 최솟값

정답: 4

[풀이전략] x를 제외한 나머지 6개 자료를 먼저 크기순으로 나열한 뒤, x가 어디에 놓여야 전체의 중앙값이 21이 되는지 위치를 판단한다.

[단계별 풀이]
1단계: x를 제외한 6개 자료를 크기순으로 나열하면 8, 15, 19, 23, 27, 30이다.
2단계: 자료가 7개(홀수)이므로 중앙값은 크기순으로 나열했을 때 4번째 값이다. 중앙값이 21이려면, x를 6개 자료 사이에 끼워 넣었을 때 4번째 자리에 오는 값이 21이어야 한다.
3단계: 21은 나열된 6개 자료 중 19와 23 사이(19<21<23)에 위치하는 값이다. x가 19와 23 사이(19<x<23)에 놓이면 순서는 8,15,19,x,23,27,30이 되어 x가 정확히 4번째 자리에 온다.
4단계: 따라서 4번째 값이 21이 되려면 x = 21이어야 한다.

[오답 분석]
- 19: 나열된 자료 중 하나인 19를 x로 착각한 경우이다. x=19이면 순서는 8,15,19,19,23,27,30이 되어 4번째 값(중앙값)은 19이지 21이 아니다.
- 23: 나열된 자료 중 하나인 23을 x로 착각한 경우이다. x=23이면 4번째 값이 23이 되어 조건과 맞지 않는다.
- 20: 21에 가까운 값을 어림으로 답한 경우로, 정확히 4번째 자리 값이 21이 되도록 하는 것은 x=21뿐이다.
- 22: 21보다 1 큰 값을 착각하여 답한 경우로, x=22를 넣어도 순서는 8,15,19,22,23,27,30이 되어 4번째 값이 22가 되므로 중앙값 조건(21)을 만족하지 못한다.

[다른 풀이] x=21을 넣어 검산하면 7개 자료는 8,15,19,21,23,27,30이 되고, 홀수 개이므로 중앙값은 정확히 가운데인 4번째 값 21이 되어 문제의 조건과 일치한다.

[핵심 정리]
[핵심1] 홀수 개의 자료의 중앙값은 크기순으로 나열했을 때 정확히 가운데(= (n+1)/2번째) 값이다.
[핵심2] 미지수 x가 기존 자료들 사이 어디에 위치하는지 먼저 판단한 후 순서를 정해야 한다.

정답: 3

이 문제는 중앙값이 주어졌을 때 방정식을 세워 미지의 자료값을 구하는 문제이다.

[개념] 자료를 크기순으로 정렬한 상태에서 자료의 개수가 짝수이면 중앙값은 가운데 두 값의 평균이다. 미지수가 포함된 위치를 정확히 파악하여 식을 세워야 한다.

[풀이]
1단계: 자료 8, 11, x, 15, 19, 22가 이미 크기순으로 정렬되어 있으려면 11 ≤ x ≤ 15 이어야 한다.
2단계: 자료의 개수가 6(짝수)이므로 중앙값은 3번째 값과 4번째 값의 평균이다. 3번째 값은 x, 4번째 값은 15이다.
3단계: 중앙값이 14이므로 (x + 15) ÷ 2 = 14이라는 방정식이 성립한다.
4단계: 양변에 2를 곱하면 x + 15 = 28이므로 x = 28 - 15 = 13이다.
5단계: x=13는 11 ≤ x ≤ 15를 만족하므로 정렬 순서 8, 11, 13, 15, 19, 22가 타당하다.

[오답 분석]
- 17: (x + 11) ÷ 2 = 14로, x를 15가 아닌 11과 짝지어 식을 잘못 세운 경우이다.
- -1: x + 15 = 14로 놓아 양변에 2를 곱하는 것을 빠뜨린 계산 실수이다.
- 9: (x + 19) ÷ 2 = 14로, x를 4번째 값이 아닌 5번째 값 19와 잘못 짝지은 경우이다.
- 14: 중앙값 14를 그대로 x의 값이라고 착각한 경우이다.

[다른 풀이] x=13를 대입하면 자료는 8, 11, 13, 15, 19, 22가 되고, 중앙의 두 값 13과 15의 평균은 (13+15)÷2=14로 문제의 조건과 정확히 일치함을 검산할 수 있다.

핵심 정리: [핵심 1] 중앙값 공식을 이용해 미지수에 대한 방정식을 세우고 풀 수 있다 [핵심 2] 미지수를 구한 뒤에는 정렬 순서 조건(부등식)을 만족하는지 반드시 확인해야 한다

정답: 2