중1 수학 정수와 유리수 예상문제

[개념] 거듭제곱이 포함된 혼합계산 — 거듭제곱을 가장 먼저 계산한 후 덧셈·뺄셈을 한다. 음수의 홀수 거듭제곱은 음수, 짝수 거듭제곱은 양수이다.

[풀이]
1단계: 거듭제곱을 먼저 계산한다: (-2)³ = (-2)×(-2)×(-2) = -8 (밑이 음수, 지수가 홀수이므로 결과는 음수)
2단계: -8+5를 계산한다: 절댓값의 차 8-5=3이고, 절댓값이 더 큰 -8의 부호(음수)를 따른다.
3단계: 따라서 -8+5 = -3이다.

[오답 분석]
① -13: (-2)³을 -8이 아니라 -2×3=-6으로 잘못 계산하거나, 부호 계산에서 절댓값을 더한(8+5) 경우이다.
② -11: (-2)³을 -8이 아닌 다른 값(예: -16의 절반 등)으로 착각한 계산 실수이다.
④ 3: -3의 부호를 반대로 쓴 경우이다.
⑤ 13: -8과 5의 절댓값을 더하고 부호를 양수로 잘못 처리한 경우이다.

[핵심 정리]
[핵심1] 거듭제곱에서 밑이 음수일 때, 지수가 홀수이면 결과는 음수, 짝수이면 결과는 양수이다.
[핵심2] 계산 순서는 거듭제곱 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈 순이다.

정답: 3

[풀이전략]
먼저 -9/5의 역수를 구한 뒤, 그 역수와 4/15를 곱한다. 역수는 분자와 분모를 바꾸되 부호는 그대로 유지한다.

[단계별 풀이]
1단계. -9/5의 역수는 -5/9 (분자·분모를 바꾸고 부호는 그대로 유지)
2단계. -5/9 × 4/15 를 계산: 분자끼리, 분모끼리 곱하면 -20/135
3단계. -20/135을 5로 약분하면 -4/27

[오답 분석]
② 4/27: 역수를 구할 때 부호를 양수로 바꿔버린 실수이다.
③ -27/4: -9/5가 아니라 4/15의 역수를 취해 곱한 경우이다(구하는 대상을 착각).
④ -12/25: 역수를 구하지 않고 -9/5와 4/15를 그대로 곱한 경우이다(-9×4=-36, 5×15=75, 약분하면 -12/25).
⑤ -4/9: -20/135을 15로 나누어야 할 것을 잘못 약분해 -4/9로 틀리게 계산한 경우이다.

[다른 풀이]
-9/5×(-5/9)=1이 되어야 역수가 맞는지 검산할 수 있다. 이후 (-5/9)×(4/15)=(-5×4)/(9×15)=-20/135=-4/27로 다시 확인할 수 있다.

[핵심 정리]
[핵심1] 어떤 수의 역수는 분자와 분모를 바꾼 수이며 부호는 바뀌지 않는다.
[핵심2] 곱셈의 최종 결과는 반드시 기약분수로 약분하여 나타낸다.

정답: 1

[개념] 뺄셈 — 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 덧셈으로 고쳐서 계산한다.

[풀이]
1단계: 뺄셈을 덧셈으로 고친다: (-8)-(-3) = (-8)+(+3)
2단계: 절댓값의 차를 구하고 절댓값이 큰 수의 부호를 따른다: |-8|=8, |+3|=3이므로 8-3=5이고, 절댓값이 더 큰 -8의 부호(음수)를 따른다.
3단계: 따라서 (-8)+(+3) = -5이다.

[오답 분석]
① -11: 뺄셈을 덧셈으로 고치지 않고 두 수의 절댓값을 그대로 더한(8+3) 후 음수를 붙인 경우이다.
③ -3: (-3)을 그대로 답으로 옮겨 쓴 경우이다.
④ 3: 부호를 반대로 계산한 경우이다.
⑤ 11: -11의 부호를 반대로 계산한 경우이다.

[핵심 정리]
[핵심1] a-b = a+(-b)로 바꾸어, 즉 빼는 수의 부호를 바꾸어 더한다.
[핵심2] 부호가 다른 두 수의 덧셈은 절댓값의 차를 구하고 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따른다.

정답: 2

[개념] 유리수의 나눗셈 — 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱하는 것으로 바꾸어 계산한다.

[풀이]
1단계: 나눗셈을 역수의 곱셈으로 고친다: (-5/6) ÷ (+15/4) = (-5/6) × (+4/15)
2단계: 부호를 결정한다: 음수×양수 = 음수
3단계: 절댓값끼리 곱하기 전에 약분한다: 5와 15는 5로 약분, 6과 4는 2로 약분하면 (1/3)×(2/5) = 2/15... (검산을 위해 다시 차근차근 계산)
실제로 5/6 × 4/15 = (5×4)/(6×15) = 20/90 = 2/9
4단계: 부호가 음수이므로 최종 값은 -2/9이다.

[오답 분석]
② -9/2: 나누는 수의 역수를 취할 때 원래 수(15/4)를 그대로 역수로 착각하지 않고 반대로 앞의 수(-5/6)를 뒤집은 경우 등 역수 적용 대상을 혼동한 경우이다.
③ 2/9: 부호를 놓쳐 양수로 계산한 경우이다.
④ 9/2: 역수를 잘못 취하고 부호도 양수로 잘못 처리한 경우이다.
⑤ -4/9: 약분 과정에서 계산 실수가 있었던 경우이다.

[핵심 정리]
[핵심1] a÷b = a×(b의 역수)로 바꾸어 계산한다.
[핵심2] 나눗셈의 부호도 곱셈과 같은 규칙(같은 부호는 +, 다른 부호는 -)을 따른다.

정답: 1

[풀이전략]
덧셈과 뺄셈이 섞인 식은 모든 항을 덧셈으로 바꾸어(부호 포함) 순서대로 계산한다.

[단계별 풀이]
1단계. 식을 덧셈으로 바꾸면: (+3.6)+(-5.2)+(-1.4)+(+2.8) (단, -(-2.8)=+2.8)
2단계. 양수끼리, 음수끼리 모아서 계산: 양수 합 = 3.6+2.8 = 6.4, 음수 합 = -(5.2+1.4) = -6.6
3단계. 6.4 + (-6.6) = -0.2

[오답 분석]
② 0.2: 최종 결과의 부호를 반대로 쓴 실수이다.
③ -5.8: -(-2.8)을 +2.8이 아닌 -2.8로 잘못 처리(이중 부호를 못 없앰)한 경우이다(3.6-5.2-1.4-2.8=-5.8).
④ -1.6: 3.6-5.2까지만 계산하고 나머지 항을 빠뜨린 경우이다.
⑤ 5.8: 부호를 모두 양수로 착각해 절댓값만 계산한 경우이다.

[다른 풀이]
양수 항끼리 먼저 더하고(3.6+2.8=6.4) 음수 항끼리 먼저 더한 뒤(5.2+1.4=6.6) 마지막에 두 결과를 빼면(6.4-6.6=-0.2) 같은 값을 얻을 수 있다.

[핵심 정리]
[핵심1] '-(-a)'는 '+a'와 같다(같은 부호 두 번은 +, 다른 부호 두 번은 -).
[핵심2] 덧셈의 교환법칙·결합법칙을 이용해 양수끼리, 음수끼리 모아 계산하면 실수를 줄일 수 있다.

정답: 1

[개념] 분배법칙 — a×b+a×c = a×(b+c)를 이용하면 공통인수를 묶어 계산을 간단히 할 수 있다.

[풀이]
1단계: 37×6과 37×4에는 공통인수 37이 있으므로 분배법칙을 이용해 묶는다: 37×6+37×4 = 37×(6+4)
2단계: 괄호 안을 계산한다: 6+4=10
3단계: 37×10을 계산한다: 370

[오답 분석]
② 74: 37×6과 37×4를 곱하지 않고 37+37(또는 6+4의 절댓값)처럼 잘못 계산한 값과 무관하게 도출될 수 있는 오답이다.
③ 341: 37×(6+4)를 37×9로 잘못 계산한 경우(37×9=333과도 다름) 등 곱셈 실수에서 비롯된 값이다.
④ 407: 37×10=370에 37을 한 번 더 더한(370+37) 경우와 유사한 계산 실수이다.
⑤ 270: 37 대신 27을 곱한 것과 같은 자릿수 실수에서 나올 수 있는 값이다.

[다른 풀이]
분배법칙 없이 직접 계산해도 검산할 수 있다: 37×6=222, 37×4=148, 222+148=370으로 같은 결과가 나온다.

[핵심 정리]
[핵심1] a×b+a×c = a×(b+c) (분배법칙)
[핵심2] 공통인수가 있는 곱셈의 합은 분배법칙으로 묶어 계산하면 더 빠르고 정확하다.

정답: 1

[풀이전략]
거듭제곱을 먼저 계산한 뒤 뺄셈을 한다. (-3)²은 -3을 두 번 곱한 값이므로 양수이다.

[단계별 풀이]
1단계. (-3)² = (-3)×(-3) = 9
2단계. 2³ = 2×2×2 = 8
3단계. 9 - 8 = 1

[오답 분석]
② -1: 계산 순서를 반대로 하여 2³-(-3)²=8-9=-1로 계산한 순서 오류이다.
③ -17: (-3)²을 -9로 잘못 계산(음수의 짝수 거듭제곱을 음수로 착각)하여 -9-8=-17이 된 부호 실수이다.
④ 17: ③과 같이 (-3)²을 -9로 착각했지만 부호를 다시 반대로 처리해 9+8=17이 된 이중 실수이다.
⑤ -5: 9-8을 계산하는 과정에서 자릿수를 착각한 단순 계산 실수이다.

[다른 풀이]
(-3)²을 밑과 지수를 풀어 (-3)×(-3)=9로, 2³을 2×2×2=8로 각각 직접 곱해 검산해도 9-8=1로 같은 값이 나온다.

[핵심 정리]
[핵심1] 음수를 짝수 번 거듭제곱하면 결과는 양수이다: (-3)²=9.
[핵심2] 거듭제곱은 사칙연산 중 가장 먼저 계산한다.

정답: 1

[개념] 덧셈의 계산법칙 — 교환법칙과 결합법칙을 이용하면 상쇄되는 수끼리 먼저 묶어 계산을 간단히 할 수 있다.

[풀이]
1단계: 교환법칙을 이용해 (+13)과 (-13)이 서로 이웃하도록 순서를 바꾼다: (+13)+(-13)+(-25)
2단계: 결합법칙을 이용해 (+13)과 (-13)을 먼저 묶어 계산한다: {(+13)+(-13)}+(-25) = 0+(-25)
3단계: 0+(-25) = -25

[오답 분석]
① -38: 세 수를 순서대로 부호를 고려하지 않고 절댓값만 모두 더한(13+25+13) 후 음수를 붙인 경우이다.
③ -12: (+13)+(-25)=-12까지만 계산하고 (-13)을 더하지 않은 경우이다.
④ 12: -12에서 부호를 반대로 쓴 경우이다.
⑤ 38: 절댓값을 모두 더하고 부호를 양수로 잘못 붙인 경우이다.

[핵심 정리]
[핵심1] 덧셈의 교환법칙과 결합법칙을 이용하면 절댓값이 같고 부호가 다른 수끼리 먼저 묶어 0으로 만들 수 있다.
[핵심2] 계산 순서를 바꾸어도 결과는 변하지 않는다는 것이 두 법칙의 핵심이다.

정답: 2