중1 수학 문자의 사용과 식 예상문제

[핵심 개념] 일차식끼리 더할 때는 괄호를 풀고(덧셈이므로 부호는 그대로) 동류항끼리 모아서 계산합니다.

[단계별 풀이]
1단계: 괄호를 풉니다. 덧셈이므로 각 항의 부호는 바뀌지 않습니다. 2x+3+x-5.
2단계: x항끼리 모아 계산합니다. 2x+x=3x.
3단계: 상수항끼리 모아 계산합니다. 3-5=-2.
4단계: 결과를 합치면 3x-2 입니다.

[오답 분석]
① x-2 → x항을 2x+x=3x가 아니라 x로 잘못 계산(2를 빠뜨림)한 오류입니다.
② 3x+8 → 상수항을 3-5=-2가 아니라 3+5=8로 부호를 반대로 계산한 오류입니다.
④ 2x-2 → x항의 계수를 2+1=3이 아니라 2로 계산(뒤의 x를 빠뜨림)한 오류입니다.
⑤ 3x+2 → 상수항의 부호만 반대로(3-5를 +2로) 계산한 오류입니다.

[다른 풀이] x=2를 대입해 검산: (2×2+3)+(2-5) = 7+(-3) = 4이고, 3x-2에 x=2를 대입하면 6-2=4로 일치합니다.

[핵심 정리] [덧셈은 괄호를 풀어도 부호가 바뀌지 않음][동류항끼리(x항은 x항끼리, 상수항은 상수항끼리) 모아 계산]
정답: 3

3x+5에 x=-2를 대입: 3×(-2)+5 = -6+5 = -1

핵심 정리
[핵심 1] 문자에 음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 사용해 부호 실수를 막는다.
[핵심 2] 곱셈을 먼저, 덧셈을 나중에 계산한다.

정답: 2

[보강 설명] 문제에서 사용한 핵심 성질을 한 번 더 확인하고, 구한 값을 원래 조건에 대입하여 식이나 도형의 조건이 모두 성립하는지 검산한다. 계산 과정에서는 부호, 단위, 대응 관계를 따로 점검한다.
정답: 2

[검산 확장] 사용한 성질의 적용 조건을 다시 확인한 뒤, 구한 값을 원래 문제에 대입해 검산한다. 수식은 역연산과 직접 대입으로, 도형은 각과 길이의 관계로, 통계는 전체 도수와 비율의 합으로 결과를 확인한다. 계산이 맞더라도 문제의 조건을 빠뜨리면 오답이 될 수 있으므로 마지막에 조건을 하나씩 다시 대조한다.
정답: 2

[핵심개념] 동류항 2x와 -x를 계산하면 2x-x=x이므로 식은 x+5가 된다. x는 1x와 같으므로 x의 계수는 1이다. 따라서 정답은 ②이다. 정답: 2

[학습 포인트]
문자의 사용과 식 단원의 동류항 정리을 적용하는 문항이다. 식이나 수치를 한 단계씩 정리하고, 문제에서 요구한 값과 실제로 계산한 값이 같은 대상인지 확인한다. 대수 문항은 원래 식에 다시 대입하고, 도형 문항은 길이·각·넓이의 조건을 되짚으며, 통계 문항은 자료 전체와 계산 결과가 일관되는지 검산한다.
[정답 확인]
정답은 2번이며, 해당 선지는 「1」이다. 다른 선지는 계산 과정의 부호·단위·조건 또는 적용한 성질이 문제의 조건과 일치하는지 비교하여 소거한다.

[핵심 개념] 세 개 이상의 동류항이 있을 때도 모든 계수를 순서대로 더하고 빼서 하나의 항으로 정리합니다.

[단계별 풀이]
1단계: 5a, -2a, 7a는 모두 문자 a가 1번 곱해진 동류항입니다.
2단계: 계수를 왼쪽부터 순서대로 계산합니다. 5-2=3.
3단계: 3+7=10.
4단계: 따라서 5a-2a+7a = 10a 입니다.

[오답 분석]
① 14a → 5+2+7=14처럼 가운데 항의 부호(-2a의 -)를 무시하고 모두 더한 오류입니다.
② 4a → 5-2+7 계산 과정에서 부호나 순서를 실수해 3+... 이 아니라 다른 값으로 계산한 오류입니다.
③ 0 → 세 항이 서로 상쇄된다고 잘못 짐작하거나, 계산을 아예 잘못하여 0으로 처리한 오류입니다.
⑤ -4a → 5-2-7=-4처럼 마지막 항의 부호까지 반대로(+7을 -7로) 처리한 오류입니다.

[다른 풀이] a=2를 대입해 검산: 5×2-2×2+7×2 = 10-4+14 = 20이고, 10a에 a=2를 대입하면 10×2=20으로 일치합니다.

[핵심 정리] [세 개 이상의 동류항도 계수를 순서대로 계산][앞의 부호를 그 항의 부호로 그대로 가져와 계산]
정답: 4

[풀이 전략]
×와 ÷가 섞인 식은 앞에서부터 순서대로 처리하되, 나누는 수는 분모로 보냅니다. 괄호가 있으면 괄호 안을 먼저 하나의 값으로 계산한 것처럼 취급합니다.

[단계별 전개]
① a×b÷c: 앞에서부터 계산하면 ab를 c로 나누는 것이므로 ab/c → 옳음.
② a÷b×c: a를 b로 나눈 뒤 c를 곱하므로 (a/b)×c = ac/b → 옳음.
③ a÷(b×c): 괄호 안 b×c=bc를 먼저 계산하고 a를 그것으로 나누므로 a/(bc) → 옳음.
④ a×b÷(c×d): ab를 cd로 나누므로 ab/(cd) → 옳음.
⑤ (a÷b)×(c÷d): 괄호 안을 먼저 계산하면 a/b와 c/d이고, 이 둘을 곱하면 (a/b)×(c/d) = ac/(bd)가 되어야 합니다. 그런데 선택지는 a/(bcd)로, 분자의 c가 사라지고 분모에 잘못 들어간 오류입니다. 따라서 ⑤가 옳지 않습니다.

[오답 분석]
① 나눗셈 뒤에 곱셈이 나오면 분모에 함께 넣는 실수를 할 수 있지만, ①은 곱셈 ab를 먼저 모으고 나눗셈만 분모로 보내 옳습니다.
② a÷b×c를 a÷(bc)로 오인해 ac 대신 a/(bc)로 쓰는 실수가 흔한데, ②는 앞에서부터 순서대로 처리해 ac/b로 옳게 나타냈습니다.
③ 괄호 안 곱셈을 무시하고 a/b×c처럼 처리하는 오류가 있을 수 있지만, ③은 괄호를 지켜 분모 bc를 정확히 만들었습니다.
④ 두 괄호의 곱을 분모로 정확히 묶었으므로 옳습니다. 만약 c×d를 c/d처럼 잘못 다뤘다면 오답이 되었을 것입니다.

[다른 풀이]
분수의 곱셈 원리로 검산합니다. (a/b)×(c/d)는 분자끼리, 분모끼리 곱하는 것이므로 반드시 (a×c)/(b×d) = ac/(bd) 꼴이 되어야 합니다. 분자에 있던 c가 분모로 이동한 a/(bcd)는 이 원리와 맞지 않습니다.

[핵심 정리]
[분수의 곱셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리][괄호 안의 곱셈·나눗셈을 먼저 하나의 값으로 정리한 뒤 바깥 연산을 적용한다]

정답: 5

[풀이 전략]
각 식을 분배법칙과 동류항 정리로 최대한 간단히 한 다음, 문자가 1차인 항만 남고 2차 이상의 항이 없는지, 상수항만 남지는 않는지 확인합니다.

[단계별 전개]
① 3x²-3x²+5 = 5 → x²항이 없어져 상수항만 남으므로 0차식(일차식 아님).
② 2/x+3x-1 → 2/x는 분모에 문자가 있어 다항식 자체가 아니므로 일차식이 될 수 없음.
③ x²-x(x-3) = x²-(x²-3x) = x²-x²+3x = 3x → x²항이 상쇄되어 3x만 남으므로 일차식(O).
④ 3x²+2x-1 → x²항이 그대로 남아 있으므로 이차식.
⑤ 5x-3-5x+1 = -2 → x항이 상쇄되어 상수항만 남으므로 0차식(일차식 아님).

[오답 분석]
① 겉보기에 x²이 있어 이차식처럼 보이지만, 실제로 정리하면 x²항이 사라지고 상수항만 남으므로 일차식이 아닙니다.
② 문자가 분모에 있는 2/x는 애초에 다항식이 아니므로 일차식 여부를 논할 수 없습니다.
④ 분배법칙으로 정리해도 x²항이 사라지지 않고 그대로 남으므로 이차식입니다.
⑤ ①과 비슷하게 겉보기에 x항이 있어 보이지만, 정리하면 x항이 상쇄되어 상수항만 남는 함정입니다.

[다른 풀이]
각 식을 정리한 결과의 '남은 문자의 최고 차수'만 확인하면 됩니다. 정리 결과가 (0이 아닌 x의 계수)×x + (상수)의 꼴이면 일차식이므로, ③의 3x가 정확히 이 조건에 맞습니다.

[핵심 정리]
[식이 일차식인지는 반드시 분배법칙과 동류항 정리를 마친 후에 판단한다][겉보기 차수와 정리 후 실제 차수가 다를 수 있다]

정답: 3

[핵심 개념] 나눗셈 기호를 생략할 때는 A÷B를 분수 A/B의 꼴로 바꾸어 씁니다. 나누어지는 수(앞)가 분자, 나누는 수(뒤)가 분모가 됩니다.

[단계별 검토]
선택지 3) a÷(-3): 나누어지는 수 a가 분자, 나누는 수 -3이 분모이므로 a/(-3)이고, 이는 -a/3과 같습니다(분모의 음의 부호는 분수 전체의 음의 부호로 옮길 수 있습니다). 따라서 옳습니다.

[오답 분석]
① a÷b = b/a → 분자와 분모가 뒤바뀌었습니다. 나누어지는 수 a가 분자로 가야 하므로 옳은 표현은 a/b입니다.
② x÷5 = 5/x → 이것도 분자·분모가 뒤바뀐 오류로, 옳은 표현은 x/5입니다.
④ 3÷x = 3x → 나눗셈을 곱셈으로 잘못 바꾼 오류입니다. 옳은 표현은 3/x입니다.
⑤ x÷y÷2 = 2x/y → x÷y÷2는 앞에서부터 순서대로 계산해 (x/y)÷2 = x/(2y)가 되어야 합니다. 2를 분자로 올린 것이 오류입니다.

[다른 풀이] a÷(-3)에 a=6을 대입해 검산하면 6÷(-3)=-2이고, -a/3에 a=6을 대입해도 -6/3=-2로 값이 같습니다.

[핵심 정리] [나누어지는 수는 분자, 나누는 수는 분모][÷가 연속되면 왼쪽부터 순서대로 계산]
정답: 3

[핵심 개념] 계수가 분수인 동류항끼리 더할 때는 분수의 덧셈처럼 통분한 후 분자끼리 더합니다.

[단계별 풀이]
1단계: (1/2)x와 (2/3)x는 둘 다 문자 x가 1번 곱해진 동류항입니다.
2단계: 두 분수의 공통분모를 찾습니다. 2와 3의 최소공배수는 6입니다.
3단계: 통분합니다. 1/2 = 3/6, 2/3 = 4/6.
4단계: 분자끼리 더합니다. 3/6+4/6 = 7/6.
5단계: 따라서 (1/2)x+(2/3)x = (7/6)x 입니다.

[오답 분석]
① 5/6 x → 통분 과정에서 분자를 3+4가 아니라 1+2=3, 2+3=5처럼 원래 분자·분모를 그대로 더해버린 오류입니다(분수의 덧셈 규칙을 지키지 않음).
② 1/6 x → 분자끼리 더해야 하는데 3-4=-1처럼 뺀 뒤 부호를 무시한 오류이거나 통분 과정의 실수입니다.
③ x → 1/2+2/3을 어림잡아 1로 계산한 오류입니다.
④ 7/5 x → 분모끼리는 더하지 않고 분자만 더한(3+4=7은 맞지만 분모를 2+3=5로 잘못 처리) 오류입니다. 분수의 덧셈에서는 분모를 더하지 않습니다.

[다른 풀이] 소수로 바꾸어 검산: 1/2=0.5, 2/3≈0.666...이므로 합은 약 1.1666...이고, 7/6≈1.1666...으로 일치합니다.

[핵심 정리] [분수 계수의 동류항 덧셈은 통분 후 분자끼리 더함][분모는 더하지 않고 공통분모를 그대로 사용]
정답: 5