고등 통합과학 운동량의 변화량과 충격량 예상문제

운동량의 변화량과 충격량
{유형 분석}
충돌 전후 운동량 변화량으로부터 충격량을 구하고, 충격량과 충돌 시간을 이용하여 평균 힘을 구할 수 있는지 확인하는 문항이다.
{자료 분석}
충돌 전 공의 운동량은 벽으로 향하는 방향을 (+)로 하면 $p_i=0.5\times 4=2\text{ kg⋅m/s}$이고, 충돌 후에는 반대 방향으로 튕겨 나왔으므로 $p_f=0.5\times (-4)=-2\text{ kg⋅m/s}$이다. 충격량은 운동량의 변화량과 같으므로 $I=p_f-p_i=-2-2=-4\text{ kg⋅m/s}$이며, 크기는 $4\text{ N⋅s}$이다. 평균 힘은 $F=\frac{I}{\Delta t}=\frac{4}{0.1}=40\text{ N}$이다.
{정답 찾기}
① 충격량의 크기는 $4\text{ N⋅s}$이므로 옳다.
② 충격량의 크기는 $4\text{ N⋅s}$이지 $2\text{ N⋅s}$가 아니므로 옳지 않다.
③ 평균 힘의 크기는 $40\text{ N}$이지 $20\text{ N}$이 아니므로 옳지 않다.
④ 충돌 전후 속력의 크기가 $4\text{ m/s}$로 같으므로 운동 에너지도 변하지 않는다. 따라서 감소한다는 설명은 옳지 않다.
⑤ 벽이 공에 작용하는 힘은 공을 반대 방향으로 되튕기게 하므로, 힘의 방향은 충돌 전 공의 운동 방향과 반대이다. 따라서 옳지 않다.
{오답 피하기}
충격량의 크기는 운동량 변화량의 절댓값이며, 속력만 같다고 운동량이 변하지 않는 것이 아니라 방향이 반대로 바뀌었으므로 운동량 변화량이 존재함에 유의해야 한다.

[최종 정답]
정답은 1번 「공이 받은 충격량의 크기는 $4\text{ N⋅s}$이다.」이다.

운동량의 변화량과 충격량
{유형 분석}
물체가 받은 충격량이 운동량의 변화량과 같다는 원리를 이용하여 충격량의 크기를 구하는 문항이다.
{자료 분석}
동쪽을 (+)로 하면 충돌 전 운동량은 $p_1=2\text{ kg}\times (+3\text{ m/s})=+6\text{ kg⋅m/s}$이고, 충돌 후 운동량은 $p_2=2\text{ kg}\times (-1\text{ m/s})=-2\text{ kg⋅m/s}$이다.
{정답 찾기}
물체가 받은 충격량 $I$는 운동량의 변화량과 같으므로 $I=p_2-p_1=(-2)-(+6)=-8\text{ kg⋅m/s}$이다. 충격량의 크기는 $8\text{ kg⋅m/s}$이며 방향은 서쪽(-)이다. 따라서 정답은 ④이다.
{오답 피하기}
충돌 전후 속도의 방향이 반대이므로 단순히 속력 차이($3-1=2\text{ m/s}$)로 계산하지 않도록 주의해야 한다. 방향을 고려하여 운동량을 벡터로 계산해야 한다.

[최종 정답]
정답은 4번 「$8\text{ kg⋅m/s}$」이다.

운동량의 변화량과 충격량
{유형 분석}
운동량의 변화량이 곧 충격량이라는 것을 이용하여 충격량과 평균 힘의 크기를 구하는 문항이다.
{자료 분석}
벽 쪽 방향을 양(+)으로 하면 충돌 전 속도는 $+4\text{ m/s}$, 충돌 후 속도는 $-2\text{ m/s}$이다. 운동량의 변화량 $\Delta p=m(v_2-v_1)=0.5\times (-2-4)=-3\text{ kg⋅m/s}$이므로 충격량의 크기는 $3\text{ N⋅s}$이다. 평균 힘의 크기는 $F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{3}{0.1}=30\text{ N}$이다.
{정답 찾기}
③ 충격량 $3\text{ N⋅s}$, 평균 힘 $30\text{ N}$으로 계산 결과와 일치한다. (O)
①, ②, ④, ⑤ 계산 결과와 다른 값이므로 옳지 않다. (X)
{오답 피하기}
충돌 전후 속도의 방향이 반대이므로 속도 변화량을 구할 때 부호를 반드시 고려해야 하며, 단순히 속력의 차만 이용하면 오답에 이른다.

[최종 정답]
정답은 3번 「충격량의 크기는 $3\text{ N⋅s}$이고, 평균 힘의 크기는 $30\text{ N}$이다.」이다.

운동량의 변화량과 충격량
{유형 분석}
이 문항은 물체의 충돌 전후 운동량 변화량을 계산하여 물체가 받은 충격량의 크기를 구할 수 있는지 확인하는 문항이다.
{자료 분석}
충격량은 물체의 운동량 변화량과 같다($J=\Delta p=m{v}^{\prime }-mv$). 벽을 향하는 방향을 $(+)$로 정하면, 충돌 전 운동량은 $1.5\times 4=6\text{ kg⋅m/s}$이고, 충돌 후 반대 방향으로 같은 속력으로 튕겨 나왔으므로 운동량은 $-6\text{ kg⋅m/s}$이다.
{정답 찾기}
운동량 변화량의 크기는 $|(-6)-(6)|=12\text{ kg⋅m/s}$이므로 공이 벽으로부터 받은 충격량의 크기는 $12\text{ kg⋅m/s}$이다.
① $3\text{ kg⋅m/s}$: 계산 과정에서 질량이나 속력을 잘못 대입한 경우 나올 수 있는 오답이다. (X)
② $12\text{ kg⋅m/s}$: 운동량 변화량을 옳게 계산한 값이다. (O)
③ $6\text{ kg⋅m/s}$: 충돌 전 또는 후의 운동량 크기만 계산하고 방향 변화를 고려하지 않은 경우의 오답이다. (X)
④ $9\text{ kg⋅m/s}$: 계산 과정에서 오차가 생긴 경우 나올 수 있는 오답이다. (X)
⑤ $15\text{ kg⋅m/s}$: 질량과 속력을 잘못 대입한 경우 나올 수 있는 오답이다. (X)
{오답 피하기}
튕겨 나오는 충돌에서는 속력이 같아도 운동량의 방향이 반대이므로, 운동량 변화량은 두 운동량의 '차'가 아니라 '합'에 해당하는 크기가 됨에 유의해야 한다.

[최종 정답]
정답은 2번 「$12\text{ kg⋅m/s}$」이다.

운동량의 변화량과 충격량
{유형 분석}
힘-시간 그래프에서 충격량을 구하고, 충격량과 운동량 변화량의 관계, 충돌 시간과 평균 힘의 관계를 이해하는 문항이다.
{자료 분석}
힘-시간 그래프 아래의 면적은 충격량을 나타내며, 문제에서 이 면적이 $10\text{ N}\cdot \text{s}$로 주어졌다. 충격량은 운동량의 변화량과 같으며(충격량-운동량 정리), 같은 충격량에서 충돌 시간이 길어지면 평균 힘의 크기는 작아진다($\text{충격량}=\text{평균 힘}\times \text{시간}$).
{정답 찾기}
ㄱ. 그래프의 면적이 곧 충격량이므로 $10\text{ N}\cdot \text{s}$가 맞으므로 옳다.(O)
ㄴ. 충격량-운동량 정리에 의해 운동량 변화량의 크기는 충격량의 크기와 같으므로 옳다.(O)
ㄷ. 충격량이 일정할 때 충돌 시간이 길어지면 평균 힘의 크기는 오히려 작아지므로 옳지 않다.(X)
{오답 피하기}
충격량이 일정하게 유지될 때 충돌(작용) 시간과 평균 힘은 반비례 관계임을 기억해야 한다. 이는 에어백, 범퍼 등 안전장치의 원리와 직결된다.

[최종 정답]
정답은 4번 「ㄱ, ㄴ」이다.

운동량의 변화량과 충격량
{유형 분석}
운동량과 충격량의 관계(충격량 = 운동량의 변화량 = 평균 힘 × 충돌 시간)를 이용하여 평균 힘을 구하는 계산 문항이다.
{자료 분석}
물체가 벽으로 다가갈 때의 운동 방향을 (+)로 정하면, 충돌 전 운동량은 $2\text{ kg}\times 6\text{ m/s}=12\text{ kg}\cdot \text{m/s}$이고, 충돌 후 운동량은 $2\text{ kg}\times (-4\text{ m/s})=-8\text{ kg}\cdot \text{m/s}$이다.
{정답 찾기}
운동량 변화량의 크기는 $|(-8)-12|=20\text{ kg}\cdot \text{m/s}$이며, 이는 물체가 받은 충격량의 크기와 같다. 평균 힘은 충격량을 충돌 시간으로 나눈 값이므로 $F=\frac{20\text{ kg}\cdot \text{m/s}}{0.1\text{ s}}=200\text{ N}$이다.
① 100 N: 계산 과정에서 운동량 변화량을 잘못 구한 경우 나올 수 있는 오답이다. (X)
② 200 N: 운동량 변화량 $20\text{ kg}\cdot \text{m/s}$을 충돌 시간 $0.1\text{ s}$로 나눈 옳은 값이다. (O)
③ 250 N, ④ 300 N, ⑤ 400 N: 속력이나 시간을 잘못 대입했을 때 나올 수 있는 오답이다. (X)
{오답 피하기}
충돌 후 속도의 방향이 반대이므로 운동량의 변화량을 구할 때 부호에 유의해야 하며, 단순히 두 속력의 차이가 아니라 방향을 고려한 속도의 차로 계산해야 한다.

[최종 정답]
정답은 2번 「200 N」이다.

운동량의 변화량과 충격량, 힘-시간 그래프와 충격량
{유형 분석}
이 문항은 힘-시간 그래프에서 그래프 아래의 넓이가 충격량을 나타낸다는 것과, 충격량과 운동량 변화량의 관계를 이해하고 있는지를 확인하는 문항이다.
{자료 분석}
힘-시간 그래프에서 그래프 아래의 넓이는 충격량의 크기와 같다. 그래프는 밑변이 $0.4\text{ s}$, 높이가 $200\text{ N}$인 삼각형이므로 충격량의 크기는 $\frac{1}{2}\times 0.4\times 200=40\text{ N⋅s}$이다. 충돌 전 물체의 운동량의 크기는 $mv=2\times 10=20\text{ kg⋅m/s}$이다.
{정답 찾기}
ㄱ. 힘-시간 그래프 아래의 넓이는 $\frac{1}{2}\times 0.4\times 200=40\text{ N⋅s}$이므로 충격량의 크기는 $40\text{ N⋅s}$이다. (O)
ㄴ. 평균 힘의 크기는 충격량을 충돌 시간으로 나눈 값이므로 $\frac{40}{0.4}=100\text{ N}$이다. (O)
ㄷ. 물체가 받은 충격량의 크기(운동량 변화량의 크기)는 $40\text{ kg⋅m/s}$로, 충돌 전 운동량의 크기($20\text{ kg⋅m/s}$)보다 크다. 이는 물체가 충돌 후 반대 방향으로 튕겨 나갔음을 의미한다. (X)
{오답 피하기}
물체가 충돌 후 튕겨 나오는 경우, 운동량의 방향이 반대로 바뀌므로 운동량 변화량의 크기는 충돌 전 운동량의 크기보다 커질 수 있다는 점에 유의해야 한다.

[최종 정답]
정답은 1번 「ㄱ, ㄴ」이다.

운동량의 변화량과 충격량
{유형 분석}
힘-시간 그래프의 넓이가 충격량(운동량 변화량)을 의미한다는 것과, 평균 힘과 최대(순간) 힘을 구분할 수 있는지 확인하는 문항이다.
{자료 분석}
물체의 운동량 변화량 크기는 $|m{v}_2-m{v}_1|=|2\times (-1)-2\times 3|=8\text{ kg⋅m/s}$이며, 이는 힘-시간 그래프 아랫부분(삼각형)의 넓이와 같다. 충돌 시간은 0.2 s이다.
{정답 찾기}
ㄱ. 운동량 변화량의 크기가 8 kg·m/s이므로 충격량의 크기도 8 N·s이다. (O)
ㄴ. 힘-시간 그래프의 넓이는 항상 충격량, 즉 운동량 변화량의 크기와 같다. (O)
ㄷ. 평균 힘은 $\frac{\text{충격량}}{\text{시간}}=\frac{8}{0.2}=40\text{ N}$이며, 80 N은 그래프의 최고점(순간 최대 힘)일 뿐 평균 힘이 아니다. (X)
{오답 피하기}
그래프의 최댓값(순간 힘)과 평균 힘을 혼동하지 않도록 유의한다. 평균 힘은 항상 (충격량)/(충돌 시간)으로 구해야 한다.

[최종 정답]
정답은 2번 「ㄱ, ㄴ」이다.